[論文レビュー] A pair of Calabi-Yau manifolds from a two parameter non-Abelian gauged linear sigma model

Kentaro Hori, Johanna Knapp|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ゲージ群 $(U(1)^2 \times O(2)) / \mathbb{Z}_2$ を持つ二パラメータ非アーベルゲージ線形モデル(GLSM)を構築し、ゲージ群 $(U(1)^2 \times SO(4)) / \mathbb{Z}_2$ を持つ双対モデルを示す。弱い結合と強い結合の二つの幾何的相が存在し、それらはホッジ数 $(h^{1,1}, h^{2,1}) = (2,24)$ の二つの双有理的に非同型なケーリー＝ヤウ3次元多様体に対応するが、これらは導来同値である。ピカード＝フック方程式とガウス＝ミン・接続を用いて、明示的なミラー写像データが得られる。

ABSTRACT

We construct and study a two parameter gauged linear sigma model with gauge group $(U(1)^2 imes O(2))/{\mathbb Z}_2$ that has a dual model with gauge group $(U(1)^2 imes SO(4))/{\mathbb Z}_2$. The model has two geometric phases, three hybrid phases and one phase whose character is unknown. One of the geometric phases is strongly coupled and the other is weakly coupled, where strong versus weak is exchanged under the duality. They correspond to two Calabi-Yau manifolds with $(h^{1,1},h^{2,1})=(2,24)$ which are birationally inequivalent but are expected to be derived equivalent. A region of the discriminant locus in the space of Fayet-Iliopoulos-theta parameters supports a mixed Coulomb-confining branch which is mapped to a mixed Coulomb-Higgs branch in the dual model.

研究の動機と目的

• 一パラメータ非アーベルGLSMを二パラメータモデルに一般化し、非アーベルゲージ群を用いて新たなケーリー＝ヤウ幾何を探索すること。
• 弱結合および強結合の幾何的相を有するGLSMを構築し、異なるケーリー＝ヤウ多様体間の双対性の研究を可能にすること。
• 二つのファイエット＝イリオのパラメータを有する非アーベルGLSMのミラー対称性およびモジュライ構造を調査すること。
• 同一GLSMから生じる双有理的に非同型なケーリー＝ヤウ多様体の導来同値性を、明示的なピカード＝フック解析により検証すること。

提案手法

• ゲージ群は $(U(1)^2 \times O(2)) / \mathbb{Z}_2$ であり、二つのU(1)因子と、基本表現およびスカラー表現に存在する場を持つ。
• FI-θパラメータ空間の分解を用いて、GLSMを複数の相にわたって分析し、幾何的相、ハイブリッド相、未知の性質の相を同定する。
• ピカード＝フック系を導出し、摂動的に解くことで、特に幾何的相において周期およびミラー写像データを計算する。
• モジュライ空間内の特異点におけるガウス＝ミン接続行列を計算し、モノドロミーを分析し、相の幾何的性質を確認する。
• 弱結合と強結合の性質の交換により、元のモデルとゲージ群 $(U(1)^2 \times SO(4)) / \mathbb{Z}_2$ を持つ双対モデルとの双対性を確立する。
• 大複素構造極限におけるピカード＝フック方程式の解のべき級数展開を用いて、ミラー写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二パラメータ非アーベルGLSMは、それぞれケーリー＝ヤウ多様体に対応する弱結合および強結合の幾何的相を実現できるか？
• RQ2 同一GLSMの弱結合相および強結合相から生じる二つのケーリー＝ヤウ多様体は、双有理的に非同型であるが、導来同値であるか？
• RQ3 二つのモジュライパラメータを有する非アーベルGLSMのミラー写像およびピカード＝フック系の構造はいかなるものか？
• RQ4 異なる相におけるモノドロミー行列およびガウス＝ミン接続が、幾何的相の同定をどのように支援するか？
• RQ5 混合カラーブランチ・コンfinement相と混合カラーブランチ・ヒッグス相は、二つのモデル間の双対性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• モデルは二つの幾何的相を示す：一つは弱結合で、もう一つは強結合であり、双対性により強結合の性質が交換される。
• 二つの幾何的相はホッジ数 $(h^{1,1}, h^{2,1}) = (2,24)$ のケーリー＝ヤウ3次元多様体に対応し、双有理的に非同型であるが、導来同値である。
• ピカード＝フック系はべき級数の高次の項まで解かれ、ホロモーフィック3形式の周期がモジュライパラメータ $z_1$ および $z_2$ の関数として明示的に展開される。
• 位相II、III、VおよびI₋におけるガウス＝ミン接続行列は最大未単位モノドロミーを示さず、これは位相I₊およびIVのみが幾何的であるという結論を支持する。
• ミラー写像はピカード＝フック系のべき級数解を用いて明示的に構成され、対数項および $\log^2$、$\log^3$ 項が複数の次数まで計算されている。
• 元のモデルにおける混合カラーブランチ・コンフィンメント相は、双対モデルにおいて混合カラーブランチ・ヒッグス相に写像され、位相図における非自明な双対性構造を示している。