[論文レビュー] A parabolic flow of pluriclosed metrics

Jeffrey Streets, Gang Tian|ArXiv.org|Mar 25, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素多様体上の全純閉じた計量の放物型フローを導入し、コンpact複素表面において短時間存在性と正則性を証明する。K3表面、複素トーラス、非最小ホフ表面、一般型表面、およびクラスVII⁺表面において、静的解（ヘルミート的シンプレクティック計量）を分類し、トポロジー的障害によりクラスVII⁺表面にはこのような計量が存在しないことを示し、フローが分類の背後にある曲線構造を明らかにする可能性を示唆する。

ABSTRACT

We define a parabolic flow of pluriclosed metrics. This flow is of the same family introduced by the authors in \cite{ST}. We study the relationship of the existence of the flow and associated static metrics topological information on the underlying complex manifold. Solutions to the static equation are automatically Hermitian-symplectic, a condition we define herein. These static metrics are classified on K3 surfaces, complex toroidal surfaces, nonminimal Hopf surfaces, surfaces of general type, and Class $\seven^+$ surfaces. To finish we discuss how the flow may potentially be used to study the topology of Class $\seven^+$ surfaces.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の全純閉じた計量の放物型フローを定義・研究し、以前のヘルミート計量に関する研究を拡張すること。
• このフローの解の存在性と正則性を、特に曲率と torsion の境界との関係で調査すること。
• K3、トーラス、ホフ、一般型表面を含む特定の複素表面における静的解（ヘリミート的シンプレクティック計量）の分類を行うこと。
• フローが、特に有理曲線に関連する特異性を通じて、クラスVII⁺表面におけるトポロジー的障害を解消する可能性を検討すること。
• フローの長期的挙動とホロモーフィック曲線の存在との関係を確立し、クラスVII⁺表面の分類を完成させることを目的とする。

提案手法

• フローは、進化方程式 ∂ₜg = -S + Q¹ で定義され、S はチャーンリッチ曲率、Q¹ は torsion に関連する二次項である。
• フローは全純閉じた条件を保存し、その解は Kähler 形式 ω に対するホッジ型の進化 ∂ₜω = ∂∂*ω + ∂̄∂̄*ω + (√-1/2)∂∂̄log det g に等価である。
• 初期曲率と torsion のノルムに依存する事前推定を用いて、短時間存在性と正則性を確立し、次元4ではより良い境界を得た。
• 全容積を保存するためにスカラー項を用いた体積正規化を行い、正規化されたフロー方程式が得られる。
• 静的状態は方程式 ∂ₜω = 0 を解くことで分析され、計量がヘルミート的シンプレクティックであるという条件に帰着する。
• 交差形式、チャーン類、コhomological障害を用いたトポロジー的分類が行われ、特にクラスVII⁺表面で有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体に対して、全純閉じた計量の放物型フローは存在するか？ その正則性特性は何か？
• RQ2 このフローの静的解とは何か？ そして、特定の複素表面においてどのように分類できるか？
• RQ3 このフローは、複素表面におけるホロモーフィック曲線やその他の幾何的構造を検出できるか？
• RQ4 なぜクラスVII⁺表面には静的計量が存在しないのか？ これはそのトポロジーにどのような含意を持つのか？
• RQ5 フローの特異性は、有理曲線の存在に関する情報を明らかにできるか？ それによりクラスVII⁺表面の分類が支援されるか？

主な発見

• フロー ∂ₜg = -S + Q¹ は、コンパクト複素多様体上で一意な短時間解を有し、初期曲率と torsion のノルムによって正則性が制御される。
• 次元4では、最大存在時間 τ が有限であることは、t → τ のときチャーン曲率 |Ω|_C⁰ が発散するときにかつそのときに限り成り立つ。
• K3表面、複素トーラス、非最小ホフ表面、一般型表面では、静的計量（ヘルミート的シンプレクティック）が存在し、明示的に分類されている。
• b₂ > 0 を満たすクラスVII⁺表面には静的計量が存在せず、これは正の自己交差を持つシンプレクティック形式の存在と、負定値の交差形式との矛盾による。
• クラスVII⁺表面に静的計量が存在しないことは、フローが特異性を発展させなければならないことを示唆し、有理曲線に関連する可能性がある。このことから、これらの表面の分類への道筋が示唆される。