[論文レビュー] A Parallel Algorithm for solving BSDEs - Application to the pricing and hedging of American options

Céline Labart, Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元のローカルボラティリティモデルにおけるアメリカン・オプションの価格設定とヘッジのための、スケーラブルな並列アルゴリズムを提示する。ピカード反復と適応的コントロールバリアントを組み合わせ、512CPUクラスタ上でMPIベースの並列化を実装することで、次元10まで線形スループットを達成し、計算が高価な金融デリバティブの価格設定において強力なスケーラビリティを示している。

ABSTRACT

We present a parallel algorithm for solving backward stochastic differential equations (BSDEs in short) which are very useful theoretic tools to deal with many financial problems ranging from option pricing option to risk management. Our algorithm based on Gobet and Labart (2010) exploits the link between BSDEs and non linear partial differential equations (PDEs in short) and hence enables to solve high dimensional non linear PDEs. In this work, we apply it to the pricing and hedging of American options in high dimensional local volatility models, which remains very computationally demanding. We have tested our algorithm up to dimension 10 on a cluster of 512 CPUs and we obtained linear speedups which proves the scalability of our implementation

研究の動機と目的

• 高次元のローカルボラティリティモデルにおけるアメリカン・オプションの価格設定とヘッジの計算的課題に対処すること。
• 高次元問題における計算時間を短縮するため、BSDEソルバーのスケーラブルな並列実装を開発すること。
• モンテカルロベースのBSDEアプローチを用いて、オプション価格とデルタ（ヘッジ）を正確に計算可能とすること。
• 512CPUのクラスタを用いて、次元10まで線形スループットとスケーラビリティを実証すること。
• 高次元計算に数時間もかかることが問題となる逐次アルゴリズムの限界を克服すること。

提案手法

• ピカード反復と適応的コントロールバリアントを用いた標準BSDEを解くためのGobetとLabart（2010）のアルゴリズムを適応する。
• ペナルティ法を用いて反射型BSDEを近似し、アメリカン・オプション価格設定問題の解法を可能にする。
• MPIを介したクラスタ上の並列化を実装し、モンテカルロシミュレーションと多項式回帰タスクを分散処理する。
• 各プロセッサが時間-空間グリッド点のサブセットと関連する確率的経路を処理するドメイン分割戦略を採用する。
• 同期ポイントを最小限に抑え、プロセッサ間の計算負荷をバランスさせるように通信を最適化する。
• 各反復で総次数 ≤ η の多項式回帰を用いて補正を計算し、計算量は1反復あたりMpd³に比例する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BSDEソルバーの並列実装は、高次元オプション価格設定において線形スループットを達成できるか？
• RQ2 次元10までのアメリカン・オプションに適用した場合、アルゴリズムのスケーラビリティと効率性はいかがなっているか？
• RQ3 高次元ローカルボラティリティモデル下でも、価格設定とヘッジの精度をどの程度維持できるか？
• RQ4 低次元領域における性能ボトルネックは何か？ そして、それらはスループット測定にどのように影響するか？
• RQ5 超高次元問題に向け、数千プロセッサに効率的にスケーリング可能か？

主な発見

• 次元6では256プロセッサまで線形スループットを達成し、256CPUでのスループットが1.041に達し、強力なスケーラビリティを示した。
• 次元3では28プロセッサを超えるとスループットが低下し、プロセッサ1つあたりの計算負荷が低いため、並列効率を確保するには問題サイズの重要性が浮き彫りになった。
• 次元5の5資産アメリカン・プット・オプションに対して、数反復で収束し、価格は約6.30、デルタ・ベクトルは(-0.102159, -0.102893, -0.103237, -0.110546, -0.106442)を得た。
• 本手法はオプション価格とデルタ（ヘッジ）を同時に計算可能であり、リスク管理における包括的ソリューションを提供する。
• 一部の代替手法よりわずかに計算時間が長くても、ヘッジ情報の提供能力を考慮すると、全体として極めて効率的である。
• 逐次ベースラインがないため、速度向上指標を修正した（8プロセッサのCPU時間 ÷ 8 ÷ n × nプロセッサのCPU時間）ことで、一部のケースで1を超えるわずかなスループット向上を説明できるようになった。