[論文レビュー] A Parallel Douglas Rachford Algorithm for Restoring Images with Values in Symmetric Hadamard Manifolds

Ronny Bergmann, Johannes Persch+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対称ハダール多様体に値をとる画像の復元のため、全 variation に類似した汎関数を最小化することによって、並列型ダグラス＝ラッチャフォードアルゴリズムを提案する。距離関数および指示関数の非拡大反射を用いてリーマン多様体へとアルゴリズムを拡張し、指数関数・対数関数写像による効率的な近接写像を可能にした。特に、対称正定値行列などの多様体において、従来手法に比べ優れた収束性と性能を示した。

ABSTRACT

We are interested in restoring images having values in a symmetric Hadamard manifold by minimizing a functional with a total variation like regularizing term. To solve the convex minimization problem, we extend the Douglas-Rachford algorithm and its parallel version to symmetric Hadamard manifolds. For the convergence proof we investigate the corresponding reflection operators. We prove that the reflections of certain distance functions on the manifold are nonexpansive which is an interesting result on its own. Furthermore, the reflection of the involved indicator function of a special closed convex set is nonexpansive on manifolds with constant curvature. The performance of the generalized Douglas-Rachford algorithm for our model is based on analytic expressions for the proximal mappings. It requires the evaluation of exponential and logarithmic functions which can be done efficiently. Several numerical examples demonstrate the advantageous performance of the suggested algorithm compared to other existing methods as the cyclic proximal point algorithm or half-quadratic minimization. Numerical convergence is also observed for the manifold of symmetric positive definite matrices with the affine invariant metric which does not have a constant curvature.

研究の動機と目的

• 標準的なユークリッド的手法が不適切となる、対称ハダール多様体（例えば、対称正定値行列）上に存在するデータの画像復元を扱う。
• 非ユークリッド的画像データに特化した、スケーラブルで収束性を保証する最適化アルゴリズムを、全 variation 正則化を用いて開発する。
• 非定数曲率を持つリーマン多様体へ、ダグラス＝ラッチャフォードアルゴリズムを拡張し、特に非拡大反射による収束性を重視する。
• 指数関数および対数関数写像を用いた解析的表現により、近接写像を導出し、対称ハダール多様体上での実用的計算を可能にする。
• 数値実験を通じて、循環的近接点法および半2次的最小化手法に比べ、提案手法の優位性を示す。

提案手法

• 距離関数および閉凸集合の指示関数に基づく反射作用素を用いて、古典的ダグラス＝ラッチャフォード分割法を対称ハダール多様体へ拡張する。
• 定曲率を持つ多様体上では、距離関数および指示関数の反射作用素が非拡大であることを証明し、適切な条件下で収束を保証する。
• 近接写像は、指数関数および対数関数写像を用いた閉形式の式で計算され、対称ハダール多様体上では効率的に評価可能である。
• 特に大規模画像復元問題において収束を高速化する目的で、ダグラス＝ラッチャフォードアルゴリズムの並列版を提案する。
• アフィン不変計量を用いた対称正定値行列の多様体に、本手法を適用したが、この多様体は定曲率を持たない。
• 定曲率が存在しないにもかかわらず、数値的に収束が観察されたことから、本手法の頑健性が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全 variation 正則化を用いた画像復元において、ダグラス＝ラッチャフォードアルゴリズムを対称ハダール多様体へ一般化できるか？
• RQ2 特に定曲率を持つ多様体において、距離関数および指示関数の反射作用素が非拡大であるか？
• RQ3 指数関数および対数関数写像を用いて、実用的な実装が可能な効率的近接写像を導出できるか？
• RQ4 提案された並列型ダグラス＝ラッチャフォードアルゴリズムの性能は、循環的近接点法や半2次的最小化手法に比べて優れているか？
• RQ5 非定数曲率を持つ多様体（例えば、アフィン不変計量を用いた対称正定値行列多様体）において、アルゴリズムは数値的に収束するか？

主な発見

• 対称ハダール多様体上での距離関数の反射が非拡大であることは、リーマン多様体上での最適化に新たなインサイトをもたらす、画期的な結果である。
• 定曲率を持つ対称ハダール多様体上では、閉凸集合の指示関数の反射が非拡大であることが示され、収束保証の根拠が得られた。
• 数値実験において、循環的近接点法および半2次的最小化手法に比べ、提案手法はより速い収束性と優れた復元品質を達成した。
• 指数関数および対数関数写像による近接写像の効率的計算が可能となり、対称ハダール多様体（特に対称正定値行列多様体）上での実用的導入が可能になった。
• 非定数曲率を持つ対称正定値行列多様体（アフィン不変計量）に対しても、数値的収束が観察された。これは、本手法の頑健性を示している。
• アルゴリズムの並列版は、非ユークリッド的ドメインにおける大規模画像復元タスクにおいて、スケーラビリティと性能の向上を示した。