[論文レビュー] A Parameterized Algorithm for Vertex and Edge Connectivity of Embedded Graphs

Thérèse Biedl, Prosenjit Bose+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Interconnection Networks and Systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、交差を伴う埋め込みグラフにおける頂点連結度および辺連結度を計算するパラメータ化されたアルゴリズムを提案する。この手法は、『リボン半径』と呼ばれる新しい概念を用いて、平面および1-平面グラフにおける線形時間連結度アルゴリズムを、より広い近似平面グラフのクラスへ一般化する。最小カットが交差点の周囲の有界な面距離（リボン半径）内に存在することを示すことにより、最適な2-および3-平面グラフ、d-マップグラフ、有界交差グラフ、および制限された×交差を有するk-平面グラフにおいて、線形時間の計算量が達成される。

ABSTRACT

The problem of computing vertex and edge connectivity of a graph are classical problems in algorithmic graph theory. The focus of this paper is on computing these parameters for graphs drawn on the plane. A typical example of such graphs are planar graphs which can be embedded without any crossings. It has long been known that vertex and edge connectivity of planar embedded graphs can be computed in linear time. Very recently, Biedl and Murali extended the techniques from planar graphs to 1-plane graphs without ×-crossings, i.e., crossings whose endpoints induce a matching. While the tools used were novel, they were highly tailored to 1-plane graphs, and do not provide much leeway for further extension. In this paper, we develop alternate techniques that are simpler, have wider applications to near-planar graphs, and can be used to test both vertex and edge connectivity. Our technique works for all those embedded graphs where any pair of crossing edges are connected by a path that, roughly speaking, can be covered with few cells of the drawing. Important examples of such graphs include optimal 2-planar and optimal 3-planar graphs, d-map graphs, d-framed graphs, graphs with bounded crossing number, and k-plane graphs with bounded number of ×-crossings.

研究の動機と目的

• 平面および1-平面グラフにおける線形時間連結度アルゴリズムを、交差を伴うより広いクラスの埋め込みグラフへ一般化すること。
• 最小頂点および辺カットが埋め込みにおいて局所的に集中することを保証する構造的条件「リボン半径」を同定すること。
• 最適な2-および3-平面グラフ、d-マップグラフ、および有界交差グラフなどの近似平面グラフクラスにおける効率的な連結度計算を可能にすること。
• 複数の既知のグラフクラスを1つのアルゴリズム的アプローチで統一的に捉えるフレームワークを提供すること。
• 平面グラフアルゴリズムをトーラスなどの非平面的表面へ拡張する可能性を検討し、その内在的制限を同定すること。

提案手法

• 埋め込みグラフにおける交差周辺の最小カットの局所的集中度を測る指標として、リボン半径の概念を導入する。
• 双対グラフ Λ(G) における面距離を定義し、カットに属する頂点／辺が交差点からどれほど近いかを定量化する。
• リボン半径が有界であれば、最小頂点カットに属するすべての頂点および最小辺カットに属するすべての辺が、Λ(G) の有界な面直径をもつ部分グラフ内に存在することを証明する。
• この有界半径部分グラフ内での最小カット探索に特化したパラメータ化アルゴリズムを構築し、局所的構造を活用する。
• メンジャーの定理およびグラフ合成技術（例：2⌊√k⌋-頂点連結クラスタの入れ子構造）を用いて、正しさと連結度の上限を証明する。
• リボン半径が有界であるすべてのグラフクラス（制限された×交差を有するk-平面グラフを含む）において、アルゴリズムが線形時間で実行可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフにおける線形時間連結度アルゴリズムを、交差を伴う埋め込みグラフへ一般化できるか？
• RQ2 最小頂点および辺カットが埋め込みグラフにおいて局所的に集中することを保証する構造的性質は何か？
• RQ3 リボン半径パラメータは、2-平面、3-平面、およびd-マップグラフなどの既知の近似平面グラフクラスを捉えられるか？
• RQ4 リボン半径が有界であるすべてのグラフクラスにおいて、このアルゴリズムが線形時間の計算量を達成できるか？
• RQ5 トーラスなどの表面において、このアプローチの一般化を妨げるトポロジカル障害（例えば）が存在するか？

主な発見

• 本稿では、リボン半径が有界である埋め込みグラフにおいて、最小頂点カットに属するすべての頂点および最小辺カットに属するすべての辺が、双対グラフ Λ(G) の有界な面直径をもつ部分グラフ内に存在することを確立した。
• リボン半径が有界であるすべてのグラフクラス（最適な2-および3-平面グラフ、d-マップグラフ、d-フレームドグラフ、および有界な×交差を有するk-平面グラフを含む）に対して、頂点および辺連結度を計算する線形時間アルゴリズムが達成された。
• p本の接続辺を有する2つの入れ子構造の高連結k-平面グラフ（RおよびB）の構築により、最小辺カットが一意的であり、かつ大きな面距離に位置することが示され、リボン半径条件の必要性が裏付けられた。
• 本手法は、エプスタインの線形時間平面連結度アルゴリズムおよびビードルとムラリの1-平面結果を、はるかに広い埋め込みグラフクラスへ一般化した。
• カットの端点間の面距離が大きいトーラスグラフの例は、リボン半径条件がトーラスなどの一般の表面へは拡張できないことを示している。
• 結果から、リボン半径が小さい埋め込み辺重み付きグラフにおける重み付き辺連結度も、平面グラフと同様に近線形時間で計算可能である可能性が示唆された。