[論文レビュー] A partially observed non-zero sum differential game of forward-backward stochastic differential equations and its application in finance

Jie Xiong, Shuaiqi Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）に従う部分的に観測された非ゼロサム確率的微分ゲームにおけるオープンループナッシュ均衡の最大原理と検証定理を構築する。各プレイヤーの制御は、自身の観測フィルトレーションに適応している。主な貢献は、確率的フィルタリングを用いて金融応用において観測可能な投資戦略を明示的に導出すること、および導出された均衡条件を用いることにある。

ABSTRACT

In this article, we concern a kind of partially observed non-zero sum stochastic differential game based on forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs). It is required that each player has his own observation equation, and the corresponding open-loop Nash equilibrium control is required to adapted to the filtration that the observation process generated. To find this open-loop Nash equilibrium point, we prove the maximum principle as a necessary condition of the existence of this point, and give a verification theorem as a sufficient condition to verify it is the real open-loop Nash equilibrium point. Combined this with reality, a financial investment problem is raised. We can obtain the explicit observable investment strategy by using stochastic filtering theory and the results above.

研究の動機と目的

• 前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）を含む部分的観測された非ゼロサム微分ゲームにおけるオープンループナッシュ均衡の存在に関する必要十分条件を確立すること。
• プレイヤーが個別の観測過程を有し、それぞれのフィルトレーションに適応する制御戦略を持つ状況において、最大原理と検証定理を拡張すること。
• 理論的枠組みを現実的な金融投資問題に適用し、観測可能な投資戦略を明示的に導出すること。
• FBSDEに基づくゲーム理論と確率的フィルタリング理論を統合し、動的金融意思決定における不完全情報の取り扱いを可能にすること。
• 後向きSDEとカルマン＝ブチフィルタリングを用いて、均衡戦略の可解性を明示的な解を用いて示すこと。

提案手法

• 随伴過程と変分法を用いて、部分的観測FBSDEゲームにおけるナッシュ均衡の必要条件としての最大原理を導出する。
• 凸性と線形性の仮定に基づき、候補となる制御が実際にオープンループナッシュ均衡であることを確認するための検証定理を提案する。
• 不完全観測系を、インノベーション過程を用いた未観測状態の推定によりマルコフ型に変換するため、確率的フィルタリング理論を適用する。
• クラスカル＝フィッシャー＝カールマン（Kushner-FKK）方程式を用いて、部分情報下での随伴過程の条件付き期待値（例：$\widehat{p}_1(t)$, $\widetilde{p}_2(t)$）の動的特性を導出する。
• 誤差共分散行列（$P_1(t)$, $P_2(t)$）に対するリカッチ型方程式を解き、フィルタリング推定の特徴を定式化する。
• フィルタリング状態推定値と指数マリントゲールを用いて、明示的なオープンループナッシュ均衡投資戦略 $\bar{I}_1(t)$ と $\bar{I}_2(t)$ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前向き後向き確率微分方程式を含む部分的観測下の非ゼロサム微分ゲームにおいて、最大原理をどのように拡張できるか？
• RQ2 部分的観測FBSDEゲームにおける候補制御戦略が真のオープンループナッシュ均衡であることを保証する条件は何か？
• RQ3 確率的フィルタリングをゲーム理論的制御と統合し、金融市場における観測可能な投資戦略をどのように導出できるか？
• RQ4 各プレイヤーが個別の観測方程式を用いて状態過程の部分集合しか観測できない場合、均衡戦略の構造はどのようなものか？
• RQ5 提案された枠組みを用いて、線形二次的金融応用において、均衡投資戦略の明示的解を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、部分的観測された非ゼロサムFBSDEゲームにおけるオープンループナッシュ均衡の存在に関する必要条件としての最大原理を確立した。
• 凸性と線形性の仮定の下で、最大原理を満たす候補制御が実際にナッシュ均衡であることを保証する検証定理を提示した。
• 関連する後向きSDEの解と確率的フィルタリングを用いて、均衡投資戦略 $\bar{I}_1(t)$ と $\bar{I}_2(t)$ が閉形式で明示的に導出された。
• 随伴過程 $\widehat{p}_1(t)$ と $\widetilde{p}_2(t)$ のフィルタリング動的特性は、インノベーションとカルマン＝ブチ型方程式を介して特徴づけられ、$\widehat{b^1}(t)$ と $\widetilde{b^2}(t)$ を含む明示的表現を示した。
• 誤差共分散行列 $P_1(t)$ と $P_2(t)$ は一意なリカッチ方程式を満たし、フィルタリング推定の安定性と可解性を保証した。
• 最終的な均衡戦略は、$\bar{I}_1(t) = \frac{1}{2}e^{\beta t}L_1^{-1}M_1\exp\left\{\int_0^t[-r(s)-\frac{1}{2}\widehat{b^1}(s)^2]ds - \int_0^t\widehat{b^1}(s)d\widehat{W}^1(s)\right\}$ および同様に $\bar{I}_2(t)$ として表現され、フィルタリング信号とリスク調整済みドリフトに依存していることが示された。