[論文レビュー] A particular class of solutions of a system of eikonal equations

Thierry Champion, Gisella Croce|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、勾配ノルムがほとんど everywhere で 1 に等しいeikonal方程式系の解のうち、変分的選択手法を導入する。勾配不連続集合のHausdorff測度に基づく関数汎関数（重み付きまたは非重み付き）を最小化することで、特定の解のクラスを同定し、領域の幾何的条件下で解の存在および一意性を示し、複数の最小化解に対して再帰的な選択手順を提供する。

ABSTRACT

In this article we study a system of eikonal equations. Our aim is to isolate the solutions which minimise the discontinuity set of the gradient.

研究の動機と目的

• ほとんど everywhere で |∂u/∂xi| = 1 を満たすeikonal方程式系の無限に多くの解の中から特定の解のクラスを同定すること。
• 解集合に凸性が欠如しているため、Lp や BV 型汎関数の標準的最小化が不可能であるのを克服すること。
• 偏導関数 ∂u/∂xi の不連続集合に基づく変分的基準を導入し、好ましい解を選択すること。
• 2種類の汎関数の最小化解の存在を示すこと：1つは (N−1) 次元 Hausdorff 測度に基づくジャンプ集合の測度に依存し、もう1つは重み関数 h を用いたもの。
• 解が存在する場合、特に次元 N=1 および N=2 において、選択された解が粘性解とどのように関係するかを特定すること。

提案手法

• 解集合 S(Ω) を、すべての u ∈ W^{1,∞}(Ω) ∩ C₀(Ω) で、i=1,…,N に対して Ω 内でほとんど everywhere に |∂u/∂xi| = 1 を満たすものとして定義する。
• 偏導関数 ∂v/∂xi のジャンプ集合の総測度を最小化するため、汎関数 F(v) = ∑_{i=1}^N ℋ^{N−1}(J_{∂v/∂xi}) を導入する。
• 一般領域では、h ∈ C₀(Ω), h ≥ 0 を用いた重み付き汎関数 F_h(v) = ∑_{i=1}^N ∫_{J_{∂v/∂xi}} h(x) dℋ^{N−1}(x) を導入する。
• BV および SBV 空間におけるコンパクト性と下界半連続性を用いて、変分法の直接法を適用する。
• Theorems 6.1–6.3 を用いた BV および SBV における逐次的コンパクト性と、Theorem 6.4 を用いた下界半連続性により、最小化解の存在を証明する。
• L² 正規直交基底関数を用いた再帰的選択法を提案し、F_h の複数の最小化解を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 eikonal 系 |∂u/∂xi| = 1 a.e. の無限個の解の中から一意な解を同定できるか？
• RQ2 ∂u/∂xi のジャンプ集合の総 (N−1) 次元 Hausdorff 測度を最小化することは、適切に定義された変分問題をもたらすか？
• RQ3 重み付き汎関数 F_h の最小化解は、解が存在する場合、粘性解とどのように関係するか？
• RQ4 F_h の複数の最小化解は、追加の変分的基準により区別可能か？
• RQ5 F_h の最小化解の集合から一意な解を体系的に選択する方法はあるか？

主な発見

• 境界が有限個の面から成り、その法線が E = {x : |x_i| = 1/√N for all i} に属するような領域 Ω に対して、汎関数 F(v) = ∑_{i=1}^N ℋ^{N−1}(J_{∂v/∂xi}) は S(Ω) 内に最小化解をもつ。
• 一般のリプシッツ領域では、汎関数 F は S(Ω) 上で一般に無限大となるため、h ∈ C₀(Ω) を用いた重み付き汎関数 F_h を導入し、それが最小化解をもつことを示した。
• N=1 または N=2 の場合、F_h の最小化解は、解が存在するならば、一意な粘性解と一致する。
• F_h の最小化解の集合には2つ以上の関数が含まれ得る。これを区別するため、L² 正規直交基底を用いた再帰的選択法を提案した。
• 最小化プロセスは、BV および SBV 空間におけるコンパクト性に依存し、導関数のLebesgue部およびジャンプ部の弱*収束を利用する。
• 直接法とジャンプ変動の下半連続性により、F_h を最小化する任意の列は、最小化解に部分列収束する。