[論文レビュー] A passivity-based stability criterion for a class of interconnected systems and applications to biochemical reaction networks

Murat Arcak, Eduardo D. Sontag|arXiv (Cornell University)|May 22, 2007

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 27被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、特に生化学反応ネットワークに適した、相互接続された非線形系のパassivityに基づく安定性基準を提案する。部分系のパassivity、相互接続構造、相互作用の符号パターンを符号化する分散性行列を構築することで、この行列の対角安定性を用いてグローバル漸近的安定性を決定する。これは、一般のグラフトポロジーに拡張されたsecant基準であり、MAPKカスケードや分岐した代謝ネットワークのような状態積を含む系の解析を可能にする。

ABSTRACT

This paper presents a stability test for a class of interconnected nonlinear systems motivated by biochemical reaction networks. One of the main results determines global asymptotic stability of the network from the diagonal stability of a "dissipativity matrix" which incorporates information about the passivity properties of the subsystems, the interconnection structure of the network, and the signs of the interconnection terms. This stability test encompasses the "secant criterion" for cyclic networks presented in our previous paper, and extends it to a general interconnection structure represented by a graph. A second main result allows one to accommodate state products. This extension makes the new stability criterion applicable to a broader class of models, even in the case of cyclic systems. The new stability test is illustrated on a mitogen activated protein kinase (MAPK) cascade model, and on a branched interconnection structure motivated by metabolic networks. Finally, another result addresses the robustness of stability in the presence of diffusion terms in a compartmental system made out of identical systems.

研究の動機と目的

• 相互接続された非線形系の安定性基準を、特に単純なサイクルをはるかに超える複雑な相互接続トポロジーを持つ生化学反応ネットワークにインspiredして開発すること。
• サイクル系に適用可能なsecant基準を、グラフで表現される一般の相互接続構造に拡張することにより、現実の生物学的ネットワークへの適用範囲を広げること。
• 従来の研究で除外されていた状態積をモデルに組み込むことにより、阻害性フィードバックを有するMAPKカスケードのようなより現実的な生化学系の解析を可能にすること。
• 空間的コンpartiment化をモデル化し、保存関数が凸性条件を満たす場合に安定性が保持されることを証明することで、拡散項が導入された場合の安定性のロバストネスを確立すること。
• 平衡点の位置を必要とせず、システム生物学で一般的な非負の状態変数系に適した、検証可能な状態空間条件を提供すること。

提案手法

• 分散性行列 $ E = A - \Gamma $ を構築する。ここで $ A $ は相互接続構造と項の符号を符号化し、$ \Gamma = \text{diag}(1/\gamma_i) $ は個々の部分系のパassivityマージン $ \gamma_i $ を反映する。
• 対角安定性の条件を適用する：正定値対角行列 $ D > 0 $ が存在して $ E^T D + D E < 0 $ を満たすこと。これにより、相互接続系のグローバル漸近的安定性が保証される。
• 個々の部分系の保存関数を重み付きで組み合わせた合成リャプノフ関数を用い、平衡点の位置に依存しない安定性の証明を行う。
• 状態積を扱える新しい保存関数の構築法を導入することで、従来の手法の一般化を図り、生化学キネティクスに一般的な非線形項の解析を可能にする。
• コンpartimentシステムに拡散項を導入して空間局在化をモデル化し、各コンpartimentでパassivityに基づく安定性条件が満たされ、かつ保存関数が凸である場合に安定性が保持されることを証明する。
• 入出力パassivity理論を活用し、[27,28]の補題を適応することで、I/O安定性結果と状態空間リャプノフアプローチを結びつけ、摂動下でのロバストネス解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクル構造の生化学的ネットワークに適用可能なsecant基準を、一般のグラフで表現される相互接続構造に一般化できるか？
• RQ2 パassivityに基づく安定性解析を、従来の研究で除外されていた状態積を含む系に拡張できるか？
• RQ3 コンpartimentモデルに拡散項が導入された場合、グローバル漸近的安定性はどのような条件下で保持されるか？
• RQ4 平衡点の位置を知らなくても検証可能な状態空間条件で、部分系のパassivityを保証できるか？
• RQ5 数値的LMIチェックを超えて、反応速度定数と安定性を明示的に結びつける解析的条件を導出できるか？

主な発見

• 提案された安定性基準は、一般の相互接続グラフにsecant基準を一般化したものであり、サイクル系はその特別な場合である。
• この手法は、部分系のパassivity、相互接続構造、符号情報の組み合わせた分散性行列 $ E $ の対角安定性をチェックすることで、グローバル漸近的安定性を決定する。
• 各コンpartimentがパassivityに基づく安定性条件を満たし、保存関数が凸である限り、コンpartimentモデルにおける拡散項に対しても安定性がロバストに保たれる。
• 新しい保存関数の構築法により、阻害性フィードバックを有するMAPKカスケードモデルのような状態積を含む系の解析が可能となり、従来のフレームワークでは取り扱えなかった。
• 例2の分岐した相互接続構造に対して、secant基準に類似した解析的条件が導出され、さらなる解析的特徴付けの可能性を示している。
• 対角安定性の数値的検証は、線形行列不等式（LMI）ソルバーを用いて効率的に実行可能であり、大規模ネットワークへの実用的応用を可能にする。