[論文レビュー] A pathway-based mean-field model for E. coli chemotaxis: Mathematical derivation and Keller-Segel limit

Guangwei Si, Min Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、運動論およびモーメント閉じ込みを用いて、E. coli の走化性を記述するパスウェイベース平均場理論（PBMFT）に基づく、パスウェイベースの平均場モーメント系を構築する。この系は、線形対流項を有する双曲型系であり、特定の仮定の下で元の PBMFT モデルを回復する。また、放物型スケーリング極限において Keller-Segel モデルと厳密な接続を確立し、空間的・時間的変化のあるリガンド環境において、エージェントベースシミュレーションと定量的に一致することを示している。

ABSTRACT

A pathway-based mean-field theory (PBMFT) was recently proposed for E. coli chemotaxis in [G. Si, T. Wu, Q. Quyang and Y. Tu, Phys. Rev. Lett., 109 (2012), 048101]. In this paper, we derived a new moment system of PBMFT by using the moment closure technique in kinetic theory under the assumption that the methylation level is locally concentrated. The new system is hyperbolic with linear convection terms. Under certain assumptions, the new system can recover the original model. Especially the assumption on the methylation difference made there can be understood explicitly in this new moment system. We obtain the Keller-Segel limit by taking into account the different physical time scales of tumbling, adaptation and the experimental observations. We also present numerical evidence to show the quantitative agreement of the moment system with the individual based E. coli chemotaxis simulator.

研究の動機と目的

• パスウェイベース平均場理論（PBMFT）に基づき、細胞内シグナル伝達ダイナミクスを組み込んだ、E. coli の走化性に関する数学的に厳密なモーメント系の構築。
• 新しいモーメント系フレームワーク内での局所的集中メチル化レベルの仮定を、解析的および数値的に正当化すること。
• 環境の変化が遅い条件下で、Keller-Segel モデルがモーメント系の流体力学的極限として体系的に導出されることを確立すること。
• 時間的・空間的に変化するリガンド環境下で、シグナル伝達経路に基づくエージェントベースシミュレータ（SPECS）と定量的に照合すること。

提案手法

• 運動論におけるモーメント閉じ込み技術を適用し、速度ジャンプ過程の密度、フラックス、および高階モーメントの閉じた方程式系を導出する。
• 平均メチル化レベル $ M $ の周囲で、トンブリング率 $ z(m) $ および適応率 $ f(a) $ のテイラー展開を実行し、2次までの項を保持する。
• 密度 $ \rho $、フラックス $ J_\rho $、1階モーメント $ q $、1階モーメントのフラックス $ J_q $、2階モーメント $ e $、2階モーメントのフラックス $ J_e $ を表す6つの閉じた方程式系を導出する。
• 局所的集中メチル化レベルの仮定を課して、モーメント階層を簡略化し、系を閉じる。
• 放物型スケーリングの下で流体力学的極限を実行し、モーメント系と古典的 Keller-Segel モデルとの接続を確立する。
• 空間的・時間的変化のあるリガンド変動下で、個体ベース E. coli の走化性シミュレータ（SPECS）との比較により、モーメント系の数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動論およびモーメント閉じ込みを用いて、パスウェイベース平均場理論（PBMFT）からどのように双曲型モーメント系を導出できるか？
• RQ2 導出されたモーメント系は、どのような条件下で元の PBMFT モデルを回復するのか、特にメチル化差の仮定に関しては？
• RQ3 環境変化が遅い極限において、モーメント系と Keller-Segel モデルとの数学的関係は何か？
• RQ4 時間変動するリガンド環境下で、モーメント系はエージェントベースシミュレータ（SPECS）のダイナミクスとどの程度定量的に一致するか？
• RQ5 モーメント系フレームワーク内において、局所的集中メチル化レベルの仮定を解析的および数値的に正当化できるか？

主な発見

• 導出されたモーメント系は、線形対流項を有する双曲型系であり、E. coli の走化性ダイナミクスを閉じた数学的整合性を持つ記述として提供する。
• 局所的集中メチル化レベルの仮定の下で、元の PBMFT モデルを回復することができ、元のモデルにおけるメチル化差の仮定は、モーメント展開を通じて明示的に正当化される。
• 放物型スケーリングの下で、Keller-Segel モデルはモーメント系の流体力学的極限として出現し、環境がゆっくり変化する条件下での有効性が確認される。
• 数値シミュレーションにより、空間的・時間的変化のあるリガンド環境下で、モーメント系とエージェントベースシミュレータ SPECS の予測が定量的に一致することが示された。
• モーメント系は、周期的環境下でのリガンド濃度と細胞の重心の位相差を的確に捉えており、これは古典的 Keller-Segel モデルでは説明できない現象である。
• $ z(m) $ および $ f(a) $ のテイラー展開における2次項の取り入れにより、特に急激に変化する条件下での非平衡走化性反応の正確なモデリングが可能になった。