[論文レビュー] A penalty scheme and policy iteration for nonlocal HJB variational inequalities with monotone drivers

Christoph Reisinger, Yufei Zhang|arXiv (Cornell University)|May 16, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単調なドライバーを伴う非局所的ハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン・バリエーショナル不等式（HJBVI）を解くためのペナルティスキームとポリシー反復法を提案する。半陰的単調離散化と新規の収束解析を活用し、ペナルティスキームが真の解に明示的な誤差境界を伴って収束することを確立するとともに、離散方程式を解くための効率的な反復アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは局所的超線形収束を示す。

ABSTRACT

We propose a class of numerical schemes for nonlocal HJB variational inequalities (HJBVIs) with monotone drivers. The solution and free boundary of the HJBVI are constructed from a sequence of penalized equations, for which a continuous dependence result is derived and the penalization error is estimated. The penalized equation is then discretized by a class of semi-implicit monotone approximations. We present a novel analysis technique for the well-posedness of the discrete equation, and demonstrate the convergence of the scheme, which subsequently gives a constructive proof for the existence of a solution to the penalized equation and variational inequality. We further propose an efficient iterative algorithm with local superlinear convergence for solving the discrete equation. Numerical experiments are presented for an optimal investment problem under ambiguity and a recursive consumption-portfolio allocation problem.

研究の動機と目的

• 非局所的HJBバリエーショナル不等式（HJBVI）に単調で、おそらくフレシェ微分可能でないドライバーを伴う、強固な数値スキームの開発。
• 特に非リプシッツ的かつ非滑らかでないドライバーを含む、このようなHJBVIの全一般性をカバーする既存の数値手法の不足に対処。
• ペナルティ化と離散近似を用いた解の存在に関する構成的証明の構築。
• スキームから生じる離散方程式を解くための、局所的超線形収束を示す効率的な反復アルゴリズムの設計。
• ペナルティパラメータに依存しない、明示的な収束速度および連続的依存推定の提供。

提案手法

• HJBVIに対してペナルティ近似を定式化し、変分不等式を単調なドライバーを伴うペナルティ付き方程式の系列に変換する。
• ペナルティ付き方程式に対して連続的依存推定を導出し、ペナルティパラメータが無限大に近づく際の安定性と収束を保証する。
• ペナルティ付き方程式に半陰的単調有限差分近似を適用し、ペナルティパラメータに依存しない安定性条件を満たす。
• 無限次元設定における離散方程式の適切な定義を確立するための新規な解析技術を導入する。
• 半滑らかニュートン法を活用したポリシー反復に基づく反復アルゴリズムを提案し、局所的超線形収束を実現する。
• 最適投資における不確実性と再帰的消費・ポートフォリオ配分問題の両方に対して、数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調なドライバーを伴う非局所的HJBVIに対して、真の解に明示的な誤差境界を伴って収束するペナルティスキームを構築可能か？
• RQ2 ドライバーが非リプシッツ的かつフレシェ微分可能でない場合、無限次元設定における離散スキームの適切な定義はどのように確立できるか？
• RQ3 ペナルティ付き解の収束速度は真の解にどのように依存し、障害物の正則性に依存するか？
• RQ4 非滑らかでないドライバーとジャンプ作用素における非線形性が存在する場合でも、離散方程式を解くための効率的な反復アルゴリズムを、局所的超線形収束を達成できるように設計可能か？
• RQ5 ペナルティアプローチを用いて、HJBVIの自由境界を構成的かつ一貫的に近似可能か？

主な発見

• ペナルティ付き方程式は、障害物の正則性に明示的に依存する収束速度で、真のHJBVI解に下からの単調収束を示す。
• ペナルティパラメータに依存しない連続的依存推定が導出され、安定性が保証される。
• 非リプシッツ的かつ非滑らかでないドライバー下でも、新規な解析技術を用いて無限次元設定における離散スキームの適切な定義が示された。
• ポリシー反復に基づく反復アルゴリズムは局所的超線形収束を示し、計算効率が著しく向上する。
• ペナルティパラメータに依存しない安定性条件の下で、安定性と収束が達成され、強固な数値実装が可能になる。
• 数値実験により、最適投資および再帰的ポートフォリオ問題において、この手法の有効性が確認され、理論的収束性および誤差推定が妥当であることが検証された。