[論文レビュー] A perfect stratification of M_g for g at most 5

Claudio Fontanari, Eduard Looijenga|ArXiv.org|Aug 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$g \leq 5$ におけるモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ の完全なアフィン層化を、 canonical 曲線を通じた二次系の幾何学的解析によって構成する。各層化がアフィンであり、その閉包がチャウ環の $\mathbb{Q}$-基底をなすことを証明し、$A^\bullet(\mathcal{M}_g) = \mathbb{Q}[\lambda]/(\lambda^{g-1})$ が成り立つことの、ファーバーおよびイザイディの結果とは独立した、より単純な新しい証明を与える。

ABSTRACT

We find for g at most 5 a stratification of depth g-2 of the moduli space of curves M_g with the property that its strata are affine and the classes of their closures provide a Q-basis for the Chow ring of M_g. The first property confirms a conjecture of one of us. The way we establish the second property yields new (and simpler) proofs of theorems of Faber and Izadi which, taken together, amount to the statement that in this range the Chow ring is generated by the lambda-class.

研究の動機と目的

• $g \leq 5$ に対して、深さ $g-2$ のアフィン層化 $\mathcal{M}_g$ を構成し、そのような層化の存在に関する予想を確認すること。
• その層化の各層化の閉包が、チャウ環 $A^\bullet(\mathcal{M}_g)$ の $\mathbb{Q}$-基底をなすことを示し、「完全な」層化を確立すること。
• $g \leq 5$ における $\mathcal{M}_g$ のタウトロジカルチャウ環が $\lambda$-類によって生成されることを、ファーバーおよびイザイディの結果とは独立した、新たな単純化された証明により示すこと、すなわち $A^\bullet(\mathcal{M}_g) = \mathbb{Q}[\lambda]/(\lambda^{g-1})$ が成り立つこと。
• 効果的でない偶数トータル特性をもたない曲線からなる開層化がアフィンであることを示し、この層化が構成における最高位の層化として機能すること。

提案手法

• 著者たちは、 genus $g$ の曲線の canonical 画像を通過する二次系の線型系を用いて、その次元に基づいて層化を定義する。
• $g=3,4,5$ に対して、幾何的条件に基づいて層化を定義する：偶数トータル特性の不在（codimension 1）、非三角的曲線（codimension 2）、特異点をもつ平面五次曲線（codimension 3）。
• 各層化がアフィンであることを証明するため、層化の補集合が、重み付き射影空間から超曲面を除いたものへの有限被覆であることを示し、補題 2.2（アフィン商）を応用する。
• 各層化のチャウ環は自明であり、$\lambda$-類の各層化への制限が、連続する差分において消えることを示し、$\lambda^k$ が $k$-番目の層化の類に比例することを示す。
• $A^1(\mathcal{M}_g \setminus \mathcal{T}_g) = 0$ であり、かつ $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{M}_g \setminus \mathcal{T}_g)$ が $\kappa_2$ によって生成されることを用い、$\lambda$ の消えることから、チャウ環が $\mathbb{Q}$ であると結論づける。
• 証明は、ムーディ、ファーバー、イザイディ、テイクシドール・イ・ビガスの既知の結果に加え、canonical 曲線とその二次系に関する新しい幾何的議論を組み合わせている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \leq 5$ に対して、$\mathcal{M}_g$ に深さ $g-2$ のアフィン層化が存在するか？
• RQ2 そのような層化における各層化の閉包が、チャウ環 $A^\bullet(\mathcal{M}_g)$ の $\mathbb{Q}$-基底をなすか？
• RQ3 $g \leq 5$ における $\mathcal{M}_g$ のチャウ環が $\lambda$-類によって生成され、かつ既存の研究とは独立して証明可能か？
• RQ4 開層化 $\mathcal{M}_g \setminus \mathcal{T}_g$ のチャウ環における $\lambda$ の消える幾何的意味は何か？
• RQ5 タウトロジカルチャウ環 $\mathcal{M}_g$ は、各連続する差分のチャウ環が自明であり、$\lambda$-類が消えるフィルトレーションによって完全に記述可能か？

主な発見

• $g \leq 5$ に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ は深さ $g-2$ の完全な層化をもち、すべての層化がアフィンである。
• この層化における各層化の閉包は、チャウ環 $A^\bullet(\mathcal{M}_g)$ の $\mathbb{Q}$-基底をなす。
• $k$-番目の層化の閉包は、$A^\bullet(\mathcal{M}_g)$ 内で $\lambda^k$ の非ゼロ倍に一致するため、$k \leq g-2$ に対して $\lambda^k$ は非ゼロであり、$\lambda^{g-1} = 0$ である。
• $g \leq 5$ に対して、チャウ環 $A^\bullet(\mathcal{M}_g)$ は $\mathbb{Q}[\lambda]/(\lambda^{g-1})$ に同型であり、ファーバーおよびイザイディの元々の証明とは独立した、より単純な新しい証明により示された。
• 効果的でない偶数トータル特性をもたない曲線からなる開層化 $\mathcal{M}_g \setminus \mathcal{T}_g$ はアフィンであり、そのチャウ環は自明である。
• $g=5$ に対して、2つの異なる完全層化が構成される：1つは点 $p$ に対して $h^0(3p) \geq 2$ を満たす曲線の集合 $\mathcal{T}_5$ を用いたもの、もう1つは $\mathcal{M}_5'$ を用いたものであり、両者とも同じチャウ環の基底をもたらす。