[論文レビュー] A Periodic Analog of the Schwarzschild Solution

D. Korotkin, Hermann Nicolai|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1994

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、1つの空間方向で周期的である時空におけるシュバルツシルトブラックホールの周期的アナログを、真空アインシュタイン方程式の新しい正確解として構築する。収束性を向上させたシュバルツシルト・エルンポテンシャルの翻訳コピーの無限和を用いることで、ホライズン外部で正則であり、かつ Kasner度数 α = 4M/L を持つ Kasner計量に漸近的に近づく解が得られ、L → ∞ の極限では標準的なシュバルツシルト解に還元される。

ABSTRACT

We construct a new exact solution of Einstein's equations in vacuo in terms of Weyl canonical coordinates. This solution may be interpreted as a black hole in a space-time which is periodic in one direction and which behaves asymptotically like the Kasner solution with Kasner index equal to $4M L^{-1}$, where $L$ is the period and $M$ is the mass of the black hole. Outside the horizon, the solution is free of singularities and approaches the Schwarzschild solution as $L ightarrow \infty$.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、1つの空間方向で周期的であるが、非漸近的平坦でない時空に一般化されたシュバルツシルト解の新しい正確解を構築することである。
• 本稿は、静的・軸対称真空解を記述するオイラー＝ダーボウグ方程式に適応した、二重周期的関数と収束性を高める定数を用いた周期的解の構築法を一般化することを目的としている。
• 目的には、得られた計量がイベントホライズン外部で正則であり、対称軸上にコニカル特異点を含まないことを確認することを含む。
• 本稿は、解の漸近的挙動を分析し、Kasner計量にKasner度数 α = 4ML⁻¹ を持つ形で近づくことを示すことにある。
• 本稿は、漸近的平坦性が欠如しているにもかかわらず、このような周期的ブラックホール配置が安定で特異点を含まないかを検討する。

提案手法

• 本手法は、静的解の場合にアインシュタイン方程式がオイラー＝ダーボウグ方程式に還元される、静的軸対称真空解のエルン形式に基づく。
• 系列構成法を適用する：与えられた静的解 ω₀(x, ρ) に対して、周期的アナログは ω(x, ρ) = ∑ₙ [ω₀(x + nL, ρ) + aₙ] として構成され、定数 aₙ は収束を保証するために選ばれる。
• シュバルツシルト解の場合、収束は n ≠ 0 のとき aₙ = −β/(L|n|) とすることで保証され、β = −2M である。これにより、級数の項が O(1/n²) の速度で減衰する。
• 周期的エルンポテンシャルは無限積として定義される：E(x, ρ) = E₀(x, ρ) ∏ₙ₌₁^∞ E₀(x + nL, ρ)E₀(x − nL, ρ) exp(4M/(nL)) であり、E(x + L, ρ) = E(x, ρ) という周期性を満たす。
• 計量の共形因子 k(x, ρ) は、一階微分方程式 kₓ = (ρ/2)ωₓωᵨ および kᵨ = (ρ/4)(ω²ᵨ − ω²ₓ) を用いて再構成され、計量の周期性が保たれる。
• k の周期性は、ホライズンを囲む閉曲線上での k の微分形式の線積分が対称性と特異項のキャンセルにより消えることによって確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イベントホライズン外部で正則であり、イベントホライズンや対称性といった主要な物理的特徴を保つ、シュバルツシルト解の周期的アナログを構築できるか？
• RQ2 周期的解の漸近的挙動は、標準的なシュバルツシルト解と比較して、Kasner度数の観点でどのように異なるか？
• RQ3 周期的解における無限個のブラックホールの鎖は、対称軸上にコニカル特異点を避けるのか？ もしそうなら、その理由は何か？
• RQ4 収束性を高める定数は、系列構成において果たす役割は何か？ そして、それらがグローバルな正則性を保証する仕組みは何か？
• RQ5 L → ∞ の極限における解の挙動は何か？ そして、標準的なシュバルツシルト解に回復するか？

主な発見

• 構築された解は、x 方向に周期 L を持ち、ホライズン外部で特異点のないアインシュタイン方程式の有効な正則な真空解である。
• 解は、Kasner度数 α = 4M/L を持つ Kasner計量に漸近的に近づく。ここで M はブラックホール質量、L は空間周期である。
• エルンポテンシャルの漸近的挙動は、ρ → ∞ のとき E ∼ Cρ⁴ᴹ⁄ᴸ と表され、Kasner型スケーリングを確認する。
• イベントホライズンはコンパクトであり、ρ = 0, |x| ≤ M のセグメントに一致する。ホライズン外部の対称軸上でも、対称性と適切な積分定数の選択のおかげで正則である。
• L → ∞ の極限において、解は点ごとの収束で標準的なシュバルツシルト解に還元され、既知の結果と整合することが確認された。
• ブラックホール間の対称軸上にコニカル特異点が存在しないのは、反射対称性と平行移動対称性のおかげであり、閉曲線上での k の微分形式の線積分が消えることによって、その特異点の不在が確認された。