[論文レビュー] A Phase Theory of MIMO LTI Systems

Wei Chen, Dan Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 46被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、伝達関数が（半）セクター型であるシステムに対して周波数依存の位相応答を定義することにより、多入力多出力（MIMO）線形時不変（LTI）システムの位相理論を提唱する。小利得定理の位相版としての小位相定理を確立し、位相計算のためのセクター型実数補題を導出し、これにより位相情報に基づく安定性解析と設計が可能となり、MIMO制御理論の基盤的枠組みが完成する。

ABSTRACT

In this paper, we define the phase response for a class of multi-input multi-output (MIMO) linear time-invariant (LTI) systems whose frequency responses are (semi-)sectorial at all frequencies. The newly defined phase concept subsumes the well-known notions of positive real systems and negative imaginary systems. We formulate a small phase theorem for feedback stability, which complements the celebrated small gain theorem. The small phase theorem lays the foundation of a phase theory of MIMO systems. We also discuss time-domain interpretations of phase-bounded systems via both energy signal analysis and power signal analysis. In addition, a sectored real lemma is derived for the computation of MIMO phases, which serves as a natural counterpart of the bounded real lemma.

研究の動機と目的

• 50年以上にわたり広く受け入れられていないMIMO LTIシステムの統一的位相概念の欠如に起因する、小利得定理の位相版の開発が阻害されてきたという問題に応える。
• 周波数ごとに伝達関数がセクター内に位置するMIMOシステムに対して、周波数ドメインにおける位相応答を定義し、正実および負の虚数系の概念を一般化する。
• 位相が制限された範囲内にある条件下でフィードバック安定性を保証する小位相定理を確立し、小利得定理が大きさに基づく解析において果たす役割と類似した役割を果たす。
• 状態空間表現における位相の計算に適したセクター型実数補題を導出し、有界実数補題の状態空間版としての役割を果たす。
• エネルギーおよびパワー信号解析を用いて、位相制限付きシステムの時間領域における解釈を提示し、周波数領域の位相特性と物理的挙動を結びつける。

提案手法

• MIMO LTIシステムの位相応答を、極分解におけるユニタリ部の固有値の偏角の集合として定義し、各周波数でセクター内に制限する。
• 位相応答がセクター [α, β] に含まれる Φ∞-セクター型性を導入し、正実および負の虚数系を一般化する。
• 小位相定理を定式化：ループ伝達関数の位相がπ未満の幅のセクター内にある場合、フィードバックシステムは安定である。
• セクター型実数補題を導出：ヘルミート行列と回転させたシステム行列を含む状態空間LMI条件を用いてΦ∞-セクター型性を検証する。
• 一般化されたKYP補題を用いて、周波数領域の位相条件を時間領域における解けるLMIに結びつける。
• エネルギー信号およびパワー信号解析を用いて、時間領域における位相制限付きシステムの解釈を提示し、位相制限がエネルギー散逸および信号ノルムに関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 50年以上にわたり広く受け入れられていない定義が存在する中で、MIMO LTIシステムに対して一貫的かつ一般的な位相概念をどのように定義できるか？
• RQ2 フィードバック安定性のための小利得定理の位相版としての小位相定理をどのように定式化できるか？
• RQ3 特にエネルギーおよびパワー信号の観点から、位相制限付きMIMOシステムの時間領域における物理的解釈は何か？
• RQ4 状態空間表現を用いてMIMOシステムの位相を効率的に計算する方法は何か？また、それに対応するLMI条件は何か？
• RQ5 提案された位相理論は、正実および負の虚数系といった既存の概念をどのように一般化・統合するか？

主な発見

• 本稿は、周波数応答が（半）セクター型であるMIMO LTIシステムに対して、正実および負の虚数系を一般化する位相応答を明確に定義した。
• 小位相定理が確立された：ループ伝達関数の位相がπ未満の幅のセクター内にある場合、フィードバックシステムは安定である。これは位相に基づく安定性基準を提供する。
• セクター型実数補題がLMI条件として導出され、Φ∞-セクター型性の検証に用いられる。特にα = −π/2、β = π/2の場合、古典的正実補題に帰着する。
• 位相応答が時間領域におけるエネルギーおよびパワー信号の解釈と整合することが示され、周波数領域の位相挙動と物理的エネルギー散逸が結びついた。
• セクターが[−π/2, π/2]の場合、理論が古典的パassing性定理の特殊ケースとして包含されることを示し、既存の結果と整合性があることを確認した。
• 本フレームワークは離散時間システムおよび非線形システムへも拡張可能であり、現在、利得と位相の混合解析および設計に関する研究が進行中である。