[論文レビュー] A Physical Origin for Singular Support Conditions in Geometric Langlands Theory

Chris Elliott, Philsang Yoo|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 104被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、B-twisted N=4 supersymmetric gauge theoryから生じる自然な構造として、幾何 Langlands理論における零性的特異的台条件の物理的起源を確立する。導来代数幾何と因子代数を用いて、境界条件を h*/W における真空 0 に制限することで Arinkin–Gaitsgory 地域が得られることを示し、GLn におけるこのような地域を統合することで、幾何 Langlands双対性の背後にある隠れた因子代数的構造が現れるものと予想する。

ABSTRACT

We explain how the nilpotent singular support condition introduced into the geometric Langlands conjecture by Arinkin and Gaitsgory arises naturally from the point of view of N = 4 supersymmetric gauge theory. We define what it means in topological quantum field theory to restrict a category of boundary conditions to the full subcategory of objects compatible with a fixed choice of vacuum, both in functorial field theory and in the language of factorization algebras. For B-twisted N = 4 gauge theory with gauge group G, the moduli space of vacua is equivalent to h*/W , and the nilpotent singular support condition arises by restricting to the vacuum 0 in h*/W. We then investigate the categories obtained by restricting to points in larger strata, and conjecture that these categories are equivalent to the geometric Langlands categories with gauge symmetry broken to a Levi subgroup, and furthermore that by assembling such for the groups GL_n for all positive integers n one finds a hidden factorization structure for the geometric Langlands theory.

研究の動機と目的

• ArinkinとGaitsgoryによって導入された、幾何 Langlands理論における零性的特異的台条件の物理的起源を説明すること。
• 固定された真空状態と整合する境界条件のカテゴリを制限するための枠組みを構築すること。
• 4次元 N=4 SUSY ゲージ理論における真空の導来モジュライ空間を、因子代数とdgカテゴリを通じて幾何 Langlandsプログラムに結びつけること。
• 真空のモジュライ空間のより大きなストラタに位置する真空に制限することは、レヴィ部分群へのゲージ対称性の破れに対応するという予想を立てること。
• n ≥ 1 における GLn に対してこのような制限カテゴリを統合することで、幾何 Langlands理論に隠れた因子代数的構造が現れるという仮説を提示すること。

提案手法

• 関手的場理論と因子代数を用いて、固定された真空と整合する境界条件カテゴリの制限という概念を形式化する。
• 古典的 BV形式主義と導来代数幾何を用いて、ゲージ群 G を持つ B-twisted N=4 ゲージ理論の真空の導来モジュライ空間を構成する。
• 真空のモジュライ空間を h*/W として特定する。ここで h* は双重重み格子、W はワイル群である。
• dgカテゴリ内の対象のスキーム的台を用いて特異的台条件を定義し、特に零性的特異的台に注目する。
• 幾何的サタケ同型を用いて、真空 0 における境界条件カテゴリを Arinkin–Gaitsgory が定義する幾何 Langlandsカテゴリと関連付ける。
• モジュライ空間のより大きなストラタにおける点に制限することで得られるさまざまなレヴィ部分群に関連するカテゴリを統合し、候補となる因子代数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 N=4 SUSY ゲージ理論における物理的原理から、幾何 Langlands理論における零性的特異的台条件はどのように生じるか？
• RQ2 B-twisted N=4 ゲージ理論における真空の導来モジュライ空間の数学的構造は何か？ そして幾何 Langlandsプログラムとどのように関係するか？
• RQ3 境界条件カテゴリを特定の真空に制限することは、因子代数と関手的場理論の言語で体系的に定式化可能か？
• RQ4 真空のモジュライ空間の高次元ストラタに位置する真空に制限することは、レヴィ部分群へのゲージ対称性の破れに対応するか？
• RQ5 n ≥ 1 における GLn に関連するカテゴリを統合することで、幾何 Langlands理論の背後にある隠れた因子代数的構造が現れるか？

主な発見

• 零性的特異的台条件は、B-twisted N=4 ゲージ理論における真空 0 ∈ h*/W に境界条件カテゴリを制限することで自然に生じる。
• ゲージ群 G を持つ B-twisted N=4 ゲージ理論の真空のモジュライ空間は、h*/W に同型である。ここで h* は重み格子の双対、W はワイル群である。
• 境界条件カテゴリを特定の真空に制限することは、関連する dg カテゴリに特異的台条件を課すことに対応する。
• 真空 0 に制限された境界条件カテゴリは、Arinkin と Gaitsgory が定義する G に対する幾何 Langlandsカテゴリと同値である。
• より大きなストラタ（h*/W の非ゼロ点に対応）における真空に制限すると、ゲージ対称性がレヴィ部分群に破れた幾何 Langlandsカテゴリと同値なカテゴリが得られる。
• n ≥ 1 におけるすべての GLn に対してこのような制限カテゴリを統合すると、全般的な幾何 Langlands双対性を記述する因子代数が構成されるものと予想される。