[論文レビュー] A physically-consistent, flexible and efficient strategy to convert local boundary conditions into nonlocal volume constraints

Marta D’Elia, Xiaochuan Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所境界条件を非局所モデルの体積的非局所体積制約に変換する、物理的に整合的で柔軟かつ計算的に効率的な手法を提示する。非局所性が消失する際、幾何的・次元的・正則性の制約なしにエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムで2次収束を保証し、問題ごとに1回の非局所解法で十分である。

ABSTRACT

Nonlocal models provide exceptional simulation fidelity for a broad spectrum of scientific and engineering applications. However, wider deployment of nonlocal models is hindered by several modeling and numerical challenges. Among those, we focus on the nontrivial prescription of nonlocal boundary conditions, or volume constraints, that must be provided on a layer surrounding the domain where the nonlocal equations are posed. The challenge arises from the fact that, in general, data are provided on surfaces (as opposed to volumes) in the form of force or pressure data. In this paper we introduce an efficient, flexible and physically consistent technique for an automatic conversion of surface (local) data into volumetric data that does not have any constraints on the geometry of the domain and on the regularity of the nonlocal solution and that is not tied to any discretization. We show that our formulation is well-posed and that the limit of the nonlocal solution, as the nonlocality vanishes, is the local solution corresponding to the available surface data. Quadratic convergence rates are proved for the strong energy and L-2 convergence. We illustrate the theory with one dimensional numerical tests whose results provide the ground work for realistic simulations.

研究の動機と目的

• 非局所モデルにおいて、表面データ（例：力や圧力）のみが利用可能な状況で、非局所体積制約をどのように規定するかという課題に対処すること。
• 幾何的・次元的制約なしに適用可能であり、物理的に整合的で計算的に効率的な手法を開発すること。
• 非局所性パラメータが0に近づく極限において、非局所解が対応する局所PDE解に収束することを保証すること。
• 非局所解の高正則性を要しない条件下でも、エネルギーおよび$L^2$ノルムで2次収束を達成すること。
• 空間離散化に依存しないフレームワークを提供し、標準的なPDEおよび非局所ソルバをブラックボックスとして利用可能にすること。

提案手法

• 非局所ホライズン層内での修正された体積力分布を用いて、表面境界データの体積的拡張を導入する。
• 物理的に妥当な変換により表面データから導かれる体積制約を非局所問題に組み込み、局所PDEへの漸近的極限を保存する。
• 変分式を用いて適切な定式化と安定性を保証し、表面データを領域内に一貫して持ち上げた体積制約を導出する。
• ガラーキン有限要素離散化を用いて実装し、非局所作用素は有界なサポートを持つカーネル関数で定義される。
• 標準的な非局所およびPDEソルバをブラックボックスとして利用可能にし、複雑な結合や最適化手順を回避する。
• 定式化が適切に定義されており、非局所性が消失する極限において、非局所解が局所解に収束することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面に基づく境界データを、幾何的・次元的制限なしに物理的に整合的な非局所体積制約に変換できるか？
• RQ2 非局所ホライズンが0に近づく際、提案手法がエネルギーおよび$L^2$ノルムで2次収束を達成するか？
• RQ3 本手法により得られる非局所解は、非局所性が消失する極限において、対応する局所PDE解と整合的か？
• RQ4 非滑らかまたは不規則な領域に対しても、非局所解の高正則性を要しないで適用可能か？
• RQ5 精度と物理的整合性を保ちながら、計算効率を維持できるか？

主な発見

• 非局所ホライズンパラメータ$\varepsilon$が0に近づく際、局所解が$C^4$に属すると仮定すると、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムで2次収束が達成される。
• 数値結果から、ノイマンおよびディリクレの両アプローチで二次収束率が確認され、エネルギーおよび$L^2$ノルムにおける観測収束次数は2.0に近く、良好な収束特性を示す。
• すべてのテストされた$\varepsilon$および$h$の値において、ディリクレベースのアプローチがノイマンベースのアプローチよりも低い誤差を示し、より優れた精度を達成している。
• 離散化レベル$h$およびホライズンサイズ$\varepsilon$の両方を同時に細かくする場合（$h = \varepsilon^2$または$h = \varepsilon/4$）でも、収束が維持され、本手法のロバスト性が確認された。
• 定式化は適切に定義されており、$\varepsilon \to 0$の極限において非局所解が局所PDE解に収束することが保証され、漸近的整合性が確保された。
• 計算コストは1回の非局所シミュレーションと同等であり、最適化ベースの代替手法と比較して極めて効率的である。