[論文レビュー] A PICARD-S HYBRID TYPE ITERATION METHOD FOR SOLVING A DIFFERENTIAL EQUATION WITH RETARDED ARGUMENT

Vatan Karakaya|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 37被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、収縮写像の不動点を近似するための新しい反復スキームであるPicard-S反復法を導入する。この方法は、Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、S、および他の既存の反復法よりも収束が速いことを示し、収束速度における同等性と優位性を証明している。さらに、遅れ付き微分方程式の解法に応用され、不動点のデータ依存性に関する結果も提示されている。

ABSTRACT

We introduce a new iteration method what is called Picard-S itera- tion. We show that the Picard-S iteration method can be used to approximate fixed point of contraction mappings. Also, we show that our new iteration method is equivalent and converges faster than CR iteration method for the aforementioned class of mappings. Furthermore, by providing an example, it is shown that the Picard-S iteration method converges faster than all of Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S and some other iteration methods in the existing literature when applied to contraction mappings. A data dependence result is proven for fixed point of contraction mappings with help of the new iteration method. Finally, we show that the Picard-S iteration method can be used to solve differential equations with retarded argument.

研究の動機と目的

• 収縮写像の不動点を近似するための新しい反復法—Picard-Sを考案すること。
• 理論的収束性を確立し、既存の反復スキームとの収束速度を比較すること。
• 本手法が遅れ付き微分方程式の解法に応用可能であることを示すこと。
• 新しい反復フレームワークを用いて、不動点のデータ依存性に関する結果を証明すること。
• 数値的比較を通じて、Picard-Sが既知の反復法を上回ることを検証すること。

提案手法

• Picard-S反復は、Picard法とS反復法の特徴を組み合わせたハイブリッド型反復スキームとして定義される。
• 本手法は完備距離空間における収縮写像に適用され、一意な不動点への収束が保証される。
• 標準的な収縮写像の原理と比較手法を用いて収束解析が行われる。
• 収束速度は、Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、S、および他の既知の反復法と数値的に評価・比較される。
• Picard-S反復を用いて、小さな摂動に対する不動点の安定性を分析することで、データ依存性の結果が導出される。
• 微分方程式を不動点問題に再定式化することで、遅れ付きの引数を含む微分方程式の解法に本手法が応用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard-S反復法が収縮写像の不動点に収束することを証明できるか？
• RQ2 Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、Sなどの既存の反復スキームと比較して、Picard-S法の収束速度はどのようになるか？
• RQ3 収縮写像に適用した場合、Picard-S反復法は提示されたすべてのスキームよりも速く収束するか？
• RQ4 Picard-S反復法は遅れ付きの引数を含む微分方程式を解くのに使用できるか？
• RQ5 Picard-S反復によって計算される不動点は、摂動に対してどのようなデータ依存性を示すか？

主な発見

• Picard-S反復法は完備距離空間における収縮写像の不動点に収束する。
• 収縮写像に対して、Picard-S反復法はCR反復法よりも収束が速い。
• 数値的証拠により、Picard-S反復法はPicard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、S、および他の既知の反復法よりも収束が速いことが示されている。
• データ依存性の結果が確立され、Picard-S反復によって計算される不動点は、小さな摂動に対しても安定であることが示された。
• 微分方程式を不動点問題に変換することで、本手法は遅れ付き引数を含む微分方程式の解法に成功裏に応用された。
• Picard-S反復法は収束の同等性においてCR反復法と同等であるが、収束速度において優位であることが証明された。