[論文レビュー] A Pick function related to the sequence of volumes of the unit ball in n-space

Christian Berg, H. Pedersen|ArXiv.org|Dec 11, 2009

Mathematics and Applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$ a \geq 1 $ に対して関数 $ F_a(x) = \frac{\ln\Gamma(x+1)}{x\ln(ax)} $ がピック関数であることを確立し、複素解析および留数理論を用いて積分表現を導出する。さらに、$ f(x) = \left( \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(1+x/2)} \right)^{1/(x\ln x)} $ に対して $ \ln f(x+1) $ がスタイリッツ関数であることを示し、$ f(x+1) $ が完全モノトニックであること、および $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ がハウスドルフモーメント列をなすことを示す。

ABSTRACT

We show that F_a(x)=\frac{\ln Γ(x+1)}{x\ln(ax)} is a Pick function for a\ge 1 and find its integral representation. We also consider the function f(x)=(\frac{π^{x/2}}{Γ(1+x/2)})^{1/(x\ln x)} and show that \ln f(x+1) is a Stieltjes function and that f(x+1) is completely monotonic on (0,\infty). In particular f(n)=Ω_n^{1/(n\ln n)},n\ge 2 is a Hausdorff moment sequence. Here Ω_n is the volume of the unit ball in Euclidean n-space

研究の動機と目的

• $ F_a(x) = \frac{\ln\Gamma(x+1)}{x\ln(ax)} $ が $ a \geq 1 $ に対してピック関数であることを確立し、$ n $ 次元空間における単位球体積の既知の単調性結果を拡張する。
• 留数理論および正則関数の解析接続を用いて、切断平面 $ \mathcal{A} = \mathbb{C} \setminus ]-\infty, 0] $ における $ F_a(z) $ の明示的積分表現を導出する。
• $ f(x) = \left( \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(1+x/2)} \right)^{1/(x\ln x)} $ を分析し、$ \ln f(x+1) $ がスタイリッツ関数であり、$ f(x+1) $ が $ (0, \infty) $ で完全モノトニックであることを示す。
• $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ がハウスドルフモーメント列であることを示し、幾何的体積と古典解析を結びつける。

提案手法

• $ F_a(x) $ を切断平面 $ \mathcal{A} $ 上のメロモーレック関数に拡張し、極と特異点を特定する複素解析の応用。
• 留数定理を用いて、$ d_a(t) $ が区間 $ ]k-1, k[ $ で区分的に定義されるもとで、積分表現 $ F_a(z) = 1 + \frac{\ln\Gamma(1+1/a)}{z - 1/a} - \int_0^\infty \frac{d_a(t)}{z + t} dt $ を導出する。
• 既知のスタイリッツ変換およびガンマ関数の対数微分の表現を用いて、$ \log f(z+1) $ の積分表現を導出する。
• 既知の $ 1/\operatorname{Log}(z+1) $ に関する結果と $ F_2 $ の表現を組み合わせることで、$ \log f(z+1) $ がスタイリッツ関数であることを証明し、$ f(x+1) $ の完全モノトニック性を導く。
• 留数計算を用いて $ G_a(z) = 1/F_a(z) $ の積分表現を確立し、$ a \geq 1 $ に対して $ G_a(z) $ がスタイリッツ関数であることを示す。
• 密度関数 $ d_a(t) $ および $ \rho_a(t) $ の非負性を分析し、正の性質が崩れる臨界値 $ a_0 \approx 0.368 $ を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ a \geq 0 $ のどの値に対して、関数 $ F_a(x) = \frac{\ln\Gamma(x+1)}{x\ln(ax)} $ が $ (0, \infty) $ 上でピック関数となるか？
• RQ2 切断平面 $ \mathcal{A} $ における $ F_a(z) $ の積分表現は何か？ また、その関連測度の構造はいかなるものか？
• RQ3 関数 $ f(x) = \left( \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(1+x/2)} \right)^{1/(x\ln x)} $ に対して、$ f(x+1) $ が $ (0, \infty) $ 上で完全モノトニックであるか？
• RQ4 $ \Omega_n $ を $ \mathbb{R}^n $ 内の単位球体積とするとき、列 $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ はハウスドルフモーメント列をなすか？
• RQ5 $ F_a $ の積分表現における密度関数 $ d_a(t) $ がすべての $ t \geq 0 $ で非負となるような $ a $ の下界は何か？

主な発見

• $ a \geq 1 $ に対して $ F_a(x) $ はピック関数であり、積分表現 $ F_a(z) = 1 + \frac{\ln\Gamma(1+1/a)}{z - 1/a} - \int_0^\infty \frac{d_a(t)}{z + t} dt $ を持つ。ここで $ d_a(t) \geq 0 $ が $ a \geq 1 $ かつ $ t > 0 $ のもとで成り立つ。
• $ a \geq 1 $ のとき、$ F_a(x) $ は $ ]1/a, \infty[ $ 上で厳密に増加かつ厳密に下に凸である。これは体積列の単調性に関する予想を裏付ける。
• $ \ln f(x+1) $ はスタイリッツ関数であり、$ f(x+1) $ は $ (0, \infty) $ 上で完全モノトニックである。また $ \lim_{x \to \infty} f(x+1) = e^{-1/2} $ である。
• 列 $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ はハウスドルフモーメント列である。これは $ f(x+1) $ が完全モノトニックであることに起因する。
• 臨界値 $ a_0 \approx 0.3681154742 $ は、すべての $ t \geq 0 $ に対して $ d_a(t) \geq 0 $ となるような $ a $ の下界である。また $ t \to k \in \mathbb{N} $ のとき $ d_a(t) \to \infty $ となる。
• $ G_a(z) = 1/F_a(z) $ は積分表現 $ G_a(z) = 1 + \frac{\ln a}{(1 - \gamma)(z - 1)} + \int_0^\infty \frac{\rho_a(t)}{z + t} dt $ を持ち、$ a \geq a_0 $ に対して $ \rho_a(t) \geq 0 $ である。$ a \geq 1 $ のとき $ G_a(x+1) $ はスタイリッツ関数である。