[論文レビュー] A PIE Representation of Coupled 2D PDEs and Stability Analysis using LPIs

Declan S. Jagt, Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、結合された2次元線形PDEに対して部分積分方程式（PIE）表現を導入し、1次元系から2次元空間的次元へPIEフレームワークを拡張する。L₂[x,y]上での部分積分（PI）作用素の微積分を構築することで、PIE解と元のPDE解との間の全単射写像を確立し、線形PI不等式（LPI）に基づく凸最適化による安定性解析を可能にした。2次元熱方程式および波動方程式への応用において、低く抑えられた保守性が実証された。

ABSTRACT

We introduce a Partial Integration Equation (PIE) representation of Partial Differential Equations (PDEs) in two spatial variables. PIEs are an algebraic state-space representation of infinite-dimensional systems and have been used to model 1D PDEs and time-delay systems without continuity constraints or boundary conditions -- making these PIE representations amenable to stability analysis using convex optimization. To extend the PIE framework to 2D PDEs, we first construct an algebra of Partial Integral (PI) operators on the function space L_2[x,y], providing formulae for composition, adjoint, and inversion. We then extend this algebra to R^n x L_2[x] x L_2[y] x L_2[x,y] and demonstrate that, for any suitable coupled, linear PDE in 2 spatial variables, there exists an associated PIE whose solutions bijectively map to solutions of the original PDE -- providing conversion formulae between these representations. Next, we use positive matrices to parameterize the convex cone of 2D PI operators -- allowing us to optimize PI operators and solve Linear PI Inequality (LPI) feasibility problems. Finally, we use the 2D LPI framework to provide conditions for stability of 2D linear PDEs. We test these conditions on 2D heat and wave equations and demonstrate that the stability condition has little to no conservatism.

研究の動機と目的

• 1次元PDEおよび時遅れ系に既に用いられているPIEフレームワークを2次元空間的次元へ拡張すること。
• L₂[x,y]上での部分積分（PI）作用素の合成、随伴、逆演算を含む包括的な代数を構築すること。
• 2次元PDEの解とその対応するPIE表現との間の全単射対応関係を確立すること。
• 最適化のための正の行列を用いて2次元PI作用素の凸錐をパラメータ化すること。
• 2次元線形PDEに対するLPIに基づく安定性条件を導出し、保守性を最小限に抑えること。

提案手法

• L₂[x,y]関数空間上でのPI作用素代数を構築し、合成、随伴、逆演算の演算を定義する。
• Rⁿ × L₂[x] × L₂[y] × L₂[x,y]へのPI作用素代数の拡張により、結合2次元PDEを扱えるようにする。
• 適切な結合線形2次元PDEが、明示的な解変換式を伴う等価なPIE表現を持つことを示す。
• 正の行列を用いて2次元PI作用素の凸錐をパラメータ化し、凸最適化を可能にする。
• 線形PI不等式（LPI）の可解性問題を定式化し、2次元PDEの安定性条件を導出する。
• 凸最適化手法を用いて、2次元熱方程式および波動方程式の安定性をLPIフレームワークで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PIEフレームワークは、1次元系から複数の空間変数を有する2次元PDEへ拡張可能か？
• RQ2 2次元空間的次元におけるPI作用素の合成および逆演算を支配する代数的構造は何か？
• RQ3 結合2次元PDEの解とその対応するPIE表現との間に全単射写像が存在するか？
• RQ4 最適化に基づく解析のため、2次元PI作用素の凸錐をどのようにパラメータ化できるか？
• RQ5 2次元線形PDEに対するLPIに基づく安定性条件の保守性はどの程度か？

主な発見

• 本稿は、L₂[x,y]上での完全なPI作用素代数を構築し、PIE形式での2次元PDEの体系的取り扱いを可能にした。
• 元の2次元PDEとそのPIE表現との間で全単射の解写像が確立され、等価性が保証された。
• 2次元PI作用素の凸錐は正の行列を用いてパラメータ化され、安定性解析のための凸最適化が可能になった。
• 2次元熱方程式および波動方程式への適用において、LPIに基づく安定性条件がほとんどまたは全く保守的でないことが示された。
• 連続性制約や明示的な境界条件を必要としないため、適用範囲が拡張された。