[論文レビュー] A Pieri-Chevalley formula in the K-theory of a G/B-bundle

Harsh Pittie, Arun Ram|ArXiv.org|Jan 23, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体 $X$ 上の $G/B$-バンドルの K理論において、Pieri-Chevalley 公式を確立する。これは、同次的ラインバンドル類とシューベルト類の積を $K(X)$-線形結合としてシューベルト類の和に表現するものである。主な結果は、Littelmann のパスモデルを用いて、構造定数を最大上昇とパスの終点によって記述し、古典的なシューベルト計算の結果を一般化するとともに、Fulton と Lascoux の公式を相対的設定へと拡張する。

ABSTRACT

The main result of this announcement is a formula for the tensor product of the class of a homogeneous line bundle with a Schubert class, expressed as a K(X)-linear combination of Schubert classes. We believe that this formula is the most general uniform result in the intersection theory of Schubert classes: it is related to a recent result of Fulton and Lascoux who presented a similar formula for a GL_n(C)/B-bundle. Indeed, in this case, their formula and ours coincide once one knows how to translate between their combinatorics with tableaux and ours with Littelmann paths. O. Mathieu has also proved the positivity which is implied by our formula. Applying the Chern character to our formula, and equating the lowest order terms we obtain a relative version of the classical result of Chevalley alluded to in the title of this paper.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体 $X$ 上の $G/B$-バンドルの文脈において、同次的ラインバンドルとシューベルト類の積の相対的 K理論公式を構築すること。
• シューベルト類の $K(X)$-線形結合を用いて、古典的な Pieri および Chevalley 公式を相対的設定へ一般化すること。
• Littelmann のパスモデルと $K(E(G/B))$ 上の $W$-作用を用いて、シューベルト類の交差理論における一様な公式を確立すること。
• Fulton, Lascoux, Demazure の結果を拡張し、絶対的および相対的シューベルト計算を K理論で統一する概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• 引き戻しと関連バンドル構成を用いて、$K(E(G/B))$ を $K(X)$-加群として定義する。
• $K(X) \bigotimes R(T)$ 上の $W$-作用を用い、$R(T)$ 上の $T_\beta$ 演算子を経由して BGG 型作用素 $T_w$ を定義し、$K(E(G/B))$ へ拡張する。
• Littelmann のパスモデルを用い、パス $\pi \in \mathcal{T}^\lambda$ を列 $\vec{a}, \vec{\tau}$ で符号化し、初期方向と最終方向を追跡する。
• ブリュア順序における最大上昇を用いて、展開における構造定数を制御するための最終方向 $v(\pi, w)$ を定義する。
• $\alpha_i$-ストリングを用いて、$Y^\lambda T_{w^{-1}} = \sum_{\eta \in \mathcal{T}^\lambda_{\leq w}} T_{v(\eta,w)^{-1}} Y^{\eta(1)}$ という作用素の恒等式を導出する。
• 作用素の公式を $[\mathcal{O}_{\Omega_1}]$ に適用し、$K(E(G/B))$ 内の主な積公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな基底多様体 $X$ 上の $G/B$-バンドルの K理論において、同次的ラインバンドル類とシューベルト類の積はどのように表現できるか？
• RQ2 相対的 K理論におけるこのような積の構造定数を制御するために、Littelmann のパスモデルは果たす役割は何か？
• RQ3 $K(E(G/B))$ 上の $W$-作用と $K(X)$-加群構造は、どのようにして一様な公式を生じさせるか？
• RQ4 相対的 Pieri-Chevalley 公式は、絶対的ケースをどのように一般化し、$GL_n/C$ に対して Fulton と Lascoux が得た結果と整合するか？
• RQ5 ブリュア順序における最大上昇は、シューベルト類への展開の台を計算する上で果たす意義は何か？

主な発見

• $K(E(G/B))$ 内で $y^\lambda [\mathcal{O}_{\Omega_w}]$ は、$\sum_{\eta \in \mathcal{T}^\lambda_{\leq w}} [\mathcal{O}_{\Omega_{v(\eta,w)}}] x^{\eta(1)}$ に展開され、$x^{\eta(1)} \in K(X)$ である。
• この公式は任意のドミナント整数的重み $\lambda$ および任意の $w \in W$ に対して有効であり、完全な相対的 K理論分解を提供する。
• 構造定数は、ブリュア順序における最大上昇によって定まる最終方向 $v(\eta,w)$ を持つパス $\eta \in \mathcal{T}^\lambda_{\leq w}$ によってインデックス化される。
• $K(E(G/B))$ 上の $W$-作用はイデアル $\mathcal{I}$ と整合的であり、同型 $K(E(G/B)) \cong K(X) \otimes_{R(G)} R(T) / \mathcal{I}$ を許容する。
• チャーン類の作用を適用し、最低次の項を抽出することで、古典的 Chevalley 公式が回復される。
• この結果は、構造定数の正値性を示し、相対的設定において Mathieu の予想を確認する。