[論文レビュー] A planar algebra construction of the Haagerup subfactor

Emily Peters|ArXiv.org|Feb 8, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、プランルーラー代数の技法を用いてハーガープ因子を構成し、12次におけるテンパリー・リーブ代数における特定のタングル不変量と内積が、必要な構造をもたらすことを示している。主な結果は、双対基底ベクトルとノルム関係の明示的計算であり、$TL_{12}$代数におけるプランルーラー代数的関係と内積恒等式、量子整数 $[n]$ を用いて因子の存在が確認されている。構成はジョーンズ・ウェンツル射影と $√{13}$ を含むスペクトル計算に依拠し、因子の指数と双対性の性質が確立されている。

ABSTRACT

Most known examples of subfactors occur in families, coming from algebraic objects such as groups, quantum groups and rational conformal field theories. The Haagerup subfactor is the smallest index finite-depth subfactor which does not occur in one of these families. In this paper we construct the planar algebra associated to the Haagerup subfactor, which provides a new proof of the existence of the Haagerup subfactor. Our technique is to find the Haagerup planar algebra as a singly generated subfactor planar algebra, contained inside of a graph planar algebra.

研究の動機と目的

• プランルーラー代数的手法を用いて、従来のフォン・ノイマン代数的手法に代えてハーガープ因子を構成すること。
• ジョーンズ・ウェンツル射影と特定の基底要素を含む $TL_{12}$ 内のタングルの内積を計算し、双対性とノルム条件を検証すること。
• 条件 $\rho(T) = -T$ の下で、双対基底ベクトル $\hat{w}_{i,i+1}(T)$ と $\hat{w}_{i,i+6}(T)$ がそれぞれ $\alpha_{i,i+1}(T)$ と $\alpha_{i,i+6}(T)$ のスカラー倍であることを示すこと。
• 重要な内積、たとえば $\langle \hat{w}_{4,5}(T), \hat{w}_{10,11}(T) \rangle = \frac{17 - 5\sqrt{13}}{144}$ および $\|N\|^2 = \frac{16}{351}(13 + 11\sqrt{13})$ の計算を通じて、プランルーラー代数構造の整合性を検証すること。

提案手法

• テンパリー・リーブ代数 $TL_{12}$ と量子整数 $[n]$、ジョーンズ・ウェンツル射影 $f^{(12)}$ を用いて、タングル不変量と内積を定義する。
• 内積は、基底要素 $\beta \in B(TL_n)$ における和をとり、$f^{(n)}$ からの係数で重みづけられ、図式的に評価される。
• 双対基底ベクトル $\hat{w}_{i,i+1}(T)$ と $\hat{w}_{i,i+6}(T)$ は、直交射影と正規化を用いて定義され、関係式 $\hat{w}_{i,i+6}(T) = \frac{11 + \sqrt{13}}{36} \alpha_{i,i+6}(T)$ を満たす。
• $N = \text{Join}_2(T,T) - \text{Proj}_{TL_6}(\text{Join}_2(T,T)) - \text{Proj}_{ATL_6(T)}(\text{Join}_2(T,T))$ のノルムは、直交分解と $f^{(6)}$ および $\hat{w}_{6,12}$ の既知のノルムを用いて計算される。
• 球面性と回転則を適用して、スター付きタングルを含む内積を簡略化し、$Z(T^3)$ と $Z((\rho^{1/2}T)^3)$ の評価に還元する。
• 恒等式 $f^{(n)} \cdot f^{(n)} = f^{(n)}$ を用いて内積を簡略化し、係数の和がゼロであるため、特定の内積が消えることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーガープ因子は、$TL_{12}$ とジョーンズ・ウェンツル射影に限定したプランルーラー代数の枠組み内で純粋に構成可能か？
• RQ2 ベクトル $N = (1 - \text{Proj}_{TL_6} - \text{Proj}_{ATL_6(T)}) \text{Join}_2(T,T)$ の正確なノルムは何か？ また、因子の指数とどのように関係しているか？
• RQ3 $\hat{w}_{i,i+6}(T)$ が $\alpha_{i,i+6}(T)$ のスカラー倍である理由は何か？ その正確なスカラーは $\sqrt{13}$ を用いてどのように表されるか？
• RQ4 内積 $\langle \hat{w}_{4,5}(T), \hat{w}_{10,11}(T) \rangle$ の値は何か？ また、$f^{(12)}$ における基底要素の寄与を用いてどのように計算されるか？
• RQ5 $f^{(6)}$ と $f^{(12)}$ の基底要素の係数が、プランルーラー代数における内積の非ゼロ寄与をどのように決定するか？

主な発見

• 内積 $\langle \alpha_{i,i+1}(T), w_{i,i+1}(T) \rangle = 76 - 20\sqrt{13}$ であり、これは $\hat{w}_{i,i+1}(T)$ の正規化に用いられる。
• 双対ベクトル $\hat{w}_{i,i+6}(T)$ は正確に $\frac{11 + \sqrt{13}}{36} \alpha_{i,i+6}(T)$ に等しく、交差項が消えるためスカラー倍であることが確認された。
• 内積 $\langle \hat{w}_{4,5}(T), \hat{w}_{10,11}(T) \rangle = \frac{17 - 5\sqrt{13}}{144}$ であり、これは5つの特定の $TL_6$ 基底要素からの寄与を合算することで計算された。
• ノルム $\|N\|^2 = \frac{16}{351}(13 + 11\sqrt{13})$ であり、直交分解と $f^{(6)}$ および $\hat{w}_{6,12}$ の既知のノルムから導出された。
• ベクトル $\text{Join}_3(T,T)$ の $ATL_5(T)$ への射影のノルムは $\left\| \text{Proj}_{ATL_5(T)}(\text{Join}_3(T,T)) \right\|^2 = \frac{[5]^2}{[6]}$ に等しく、ここで $[5] = \frac{\sin(5\pi/13)}{\sin(\pi/13)}$ である。
• 内積 $\langle \alpha_{i,i+6}(T), w_{i-1,i}(T) \rangle = 0$ および $\langle \alpha_{i,i+6}(T), w_{i+5,i+6}(T) \rangle = 0$ であり、これは $f^{(6)}$ の寄与基底要素上での係数の和がゼロであるためである。