[論文レビュー] A plug with infinite order and some exotic 4-manifolds

Motoo Tange|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は4次元位相幾何学において無限位数のプラグを構成し、このようなプラグに沿った4多様体のねじり操作が無限に多くの異なる滑らかさ構造を生成することを示している。Fintushel-Sternのねじれ手術と一般化されたコルトねじりを用いて、最小なシンプレクティック4多様体を含む異種対を提示し、無限位数プラグ作用を通じて非微分同相な構造の無限族の存在を証明する。

ABSTRACT

Every exotic pair in 4-dimension is obtained each other by twisting a {\it cork} or {\it plug} which are codimension 0 submanifolds embedded in the 4-manifolds. The twist was an involution on the boundary of the submanifold. We define cork (or plug) with order $p\in {\Bbb N}\cup \{\infty\}$ and show there exists a plug with infinite order. Furthermore we show twisting $(P,φ^2)$ gives to enlargements of $P$ compact exotic manifolds with boundary.

研究の動機と目的

• corkとplugの理論を、位数の概念を導入することで4次元位相幾何学に拡張すること。
• 無限位数を持つプラグが、非微分同相な滑らかさ構造を無限に生成できることを示すこと。
• 位数2の一般化されたコルトねじりが、同じ位相型を持つ最小でシンプレクティックな異種4多様体を生成できることを示すこと。
• 無限位数プラグねじりの2乗が、非可縮的で無限位数を持つcorkであることを確立すること。
• 衛星リンクとねじれ手術を用いた明示的構成により異種対を提示し、Seiberg-Witten不変量を用いて非微分同相性を証明すること。

提案手法

• 自然数 $ p \in \mathbb{N} \cup \{\infty\} $ に対するプラグの位数に関する新しい定義を導入し、標準的な対合に基づくcorkとplugの構成を一般化する。
• 単連結で、コンパクトで、Steinである4次元多様体 $ P $ を構成し、$ b_2 = 2 $ であり、3つの消滅サイクルを持つ楕円ファイブレーションに埋め込まれており、そのうち2つが平行である。
• $ \partial P $ 上に無限位数の微分同相写像 $ \varphi $ を定義し、任意の $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ \varphi^n \neq \text{id} $ が成り立ち、かつ $ \varphi $ が $ P $ の自己位相同相写像に拡張できないことを示す。
• 境界上での作用 $ \varphi $ を用いたカットアンドパスタ操作 $ [X - P] \cup_\varphi Y $ を定義し、$ \varphi $ が $ P $ の境界上で作用し、$ Y $ が同じ境界を持つ多様体であるようにする。
• Fintushel-Sternのねじれ手術を適用し、$ (P, \varphi^n) $ を、$ K^n $ と表される、単位紐から $ n $ 回のねじれ操作を繰り返して得られる紐 $ X_{K^n} $ に関連付ける。
• Seiberg-Witten不変量を用いて滑らかさ構造を区別する：$ E(1)_{L_{2n}} $ の不変量は $ \Delta_{L_{2n}}(t_1,t_2) = \sum_{k=1}^{2n} (t_1 t_2)^{2k-2n-1} $ であり、非自明な基本類を検出でき、$ Y $ と $ Y_{2n} $ の非微分同相性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限位数を持つプラグが存在し、それが4多様体上で無限に多くの異なる滑らかさ構造を生成するか？
• RQ2 無限位数プラグねじりの2乗が、非可縮的で無限位数を持つcorkを生成するか？
• RQ3 位数2の一般化されたコルトねじりが、元の多様体と同じ位相型を持つ最小でシンプレクティックな異種4多様体を生成できるか？
• RQ4 $ P $ に $ -1 $-フレームの2セルを付加して得られる多様体 $ Y $ と、その一般化されたねじり $ Y_2 $ は、滑らかさ構造で区別可能か？
• RQ5 $ n \geq 1 $ に対して、族 $ \{Y_{2n}\} $ と $ \{Z_{2n}\} $ は互いに非微分同相か？

主な発見

• 無限位数を持つプラグ $ (P, \varphi) $ が存在し、$ P $ は単連結で、コンパクトで、Steinである4次元多様体で、$ b_2 = 2 $ であり、3つの消滅サイクルを持つ楕円ファイブレーションに埋め込まれており、そのうち2つが平行である。
• プラグねじり $ (P, \varphi^n) $ は、$ K^n $ と表される、単位紐から $ n $ 回の反復ねじれ操作で得られる紐に対応するねじれ手術 $ X_{K^n} $ に一致する。
• $ (P, \varphi^2) $ は、非可縮的で無限位数を持つcorkであり、一般化されたコルトねじりを用いた異種対の構成を可能にする。
• $ Y = \tilde{Y} \# \overline{\mathbb{C}P^2} $ とそのねじり $ Y_2 $ は位相的に同相だが、微分同相ではない。$ Y_2 $ は最小でシンプレクティックである。
• $ E(1)_{L_{2n}} $ のSeiberg-Witten不変量は $ \Delta_{L_{2n}}(t_1,t_2) = \sum_{k=1}^{2n} (t_1 t_2)^{2k-2n-1} $ であり、非自明な基本類を検出でき、$ Y $ と $ Y_{2n} $ の非微分同相性を証明する。
• 族 $ \{Y_{2n}\} $ と $ \{Z_{2n}\} $ は、無限に多くの相互に異種な多様体であると予想されるが、$ n \geq 2 $ での相互非微分同相性は未解決のままである。