[論文レビュー] A polynomial action on colored sl(2) link homology

Matt Hogancamp|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、分母を払った状態でのジョーンズ＝ウェンツル射影子のスカラー倍をカテゴリファイ化する有界なチェーン複体を構成する。同時に、色付き$σλ_{2}$リンクホモロジーに多項式作用を導入し、ホモロジーを有限次元化し、タングルへ拡張可能にする。また、トーラス絡み目の安定ケーファンホモロジーに関するGorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende予想の弱い形を証明する。

ABSTRACT

We construct an action of a polynomial ring on the colored sl(2) link homology of Cooper-Krushkal, over which this homology is finitely generated. We define a new, related link homology which is finite dimensional, extends to tangles, and categorifies a scalar-multiple of the sl(2) Reshetikhin-Turaev invariant. We expect this homology to be functorial under 4-dimensional cobordisms. The polynomial action is related to a conjecture of Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende on the stable Khovanov homology of torus knots, and as an application we obtain a weak version of this conjecture. A key new ingredient is the construction of a bounded chain complex which categorifies a scalar multiple of the Jones-Wenzl projector, in which the denominators have been cleared.

研究の動機と目的

• 色付き$σλ_{2}$リンクホモロジーの無限次元性を解消し、有限次元版を構成すること。
• ジョーンズ＝ウェンツル射影子における分母を払う操作のカテゴリカルな類似を提供し、有界なカテゴリファイケーションを可能にすること。
• ホモロジーをタングルへ拡張し、$σλ_{2}$レシティヒン＝トゥラエフ不変量のスカラー倍をカテゴリファイすること。
• コOPER＝クラシュカルホモロジーに多項式作用を定義し、多項式環上での有限生成性を達成すること。
• トーラス絡み目の安定ケーファンホモロジーに関するGorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende予想の弱い形を証明すること。

提案手法

• 整数テンペリー＝ライブ代数上の有界複体$Q_n$を、タングルとドット付きコーボリズムの圏において構成し、分母を払った状態でのジョーンズ＝ウェンツル射影子$(1 - q^{2n})p_n$をカテゴリファイする。
• チェーン複体の畳み込み構成法を用い、各項はシフトされた複体$E_i$であり、微分には内部写像と階層間写像が含まれる。
• 無限個の複体の直和が積と同型であるという条件下で、多項式環上の複体の無限直和を簡約するための変形再配置技術を適用する。
• 多項式環$\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_r]$に二重次数を導入し、自己準同型複体の構造を活用して等変性のある再配置を定義する。
• インデックス集合に部分順序が入った畳み込みの関連する次数付き複体に対して、定理5.12の適用が可能であることを活用して簡略化を行う。
• 複体$K \to L$の変形再配置の存在に依存し、$R$-等変性のある再配置$R \otimes K \to R \otimes L$を誘導することで、新しい複体が$R$-等変性を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーンズ＝ウェンツル射影子は、整数テンペリー＝ライブ代数上の有界複体としてカテゴリファイ可能であり、分母のための無限複体を回避できるか？
• RQ2 スカラー倍の$σλ_{2}$レシティヒン＝トゥラエフ不変量をカテゴリファイする有限次元的でタングル拡張可能なリンクホモロジーは存在するか？
• RQ3 色付き$σλ_{2}$リンクホモロジーに多項式作用を定義し、そのホモロジーが多項式環上での有限生成性を満たすようにできるか？
• RQ4 4次元コーボリズムの下での函手性を保ちつつ、コペル＝クラシュカルホモロジーの無限次元性はどのように解消できるか？
• RQ5 複体$Q_n$の構成は、トーラス絡み目の安定ケーファンホモロジーに関するGorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende予想にどの程度の証拠を提供するか？

主な発見

• 有界なチェーン複体$Q_n$が構成され、$(1 - q^{2n})p_n \in \mathrm{TL}_n^\mathbb{Z}$をカテゴリファイする。これはジョーンズ＝ウェンツル射影子における分母を効果的に払ったものである。
• 複体$Q_n$は、シフトされた複体$E_i$の畳み込みとして構成され、微分には内部写像と階層間のチェーン写像が含まれる。
• 得られたホモロジー理論は有限次元的であり、タングルへ拡張可能で、$σλ_{2}$レシティヒン＝トゥラエフ不変量のスカラー倍をカテゴリファイする。
• コペル＝クラシュカルホモロジーに多項式作用が定義され、多項式環上での有限生成性が達成される。
• この構成により、Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende予想の弱い形が得られ、トーラス絡み目のケーファンホモロジーの安定極限に関する予想の予測が確認される。
• 変形再配置定理（定理5.21）により、条件$\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_r] \otimes K \cong \prod_f f \otimes K$の下で、複体$M = \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_r] \otimes K$は$N = \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_r] \otimes L$へ$R$-等変性を保ったまま再配置可能であることが保証される。