[論文レビュー] A Polynomial Degree Bound on Equations for Non-Rigid Matrices and Small Linear Circuits

Mrinal Kumar, Ben Lee Volk|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、非剛性行列および小規模な線形回路を定義する方程式の多項式次数の上限を確立し、Gesmundo らの予想を解決する。非剛性行列は次数が高々 $n^3$ の非自明な多項式を満たすことが示され、その証明には Shpilka と Volkovich の低次多項式写像と次元数え上げの組み合わせが用いられ、多項式恒等式テストの決定的化から新たな回路下界が得られる。

ABSTRACT

We show that there is an equation of degree at most poly(n) for the (Zariski closure of the) set of the non-rigid matrices: that is, we show that for every large enough field 𝔽, there is a non-zero n²-variate polynomial P ∈ 𝔽[x_{1, 1}, …, x_{n, n}] of degree at most poly(n) such that every matrix M which can be written as a sum of a matrix of rank at most n/100 and a matrix of sparsity at most n²/100 satisfies P(M) = 0. This confirms a conjecture of Gesmundo, Hauenstein, Ikenmeyer and Landsberg [Fulvio Gesmundo et al., 2016] and improves the best upper bound known for this problem down from exp(n²) [Abhinav Kumar et al., 2014; Fulvio Gesmundo et al., 2016] to poly(n). We also show a similar polynomial degree bound for the (Zariski closure of the) set of all matrices M such that the linear transformation represented by M can be computed by an algebraic circuit with at most n²/200 edges (without any restriction on the depth). As far as we are aware, no such bound was known prior to this work when the depth of the circuits is unbounded. Our methods are elementary and short and rely on a polynomial map of Shpilka and Volkovich [Amir Shpilka and Ilya Volkovich, 2015] to construct low degree "universal" maps for non-rigid matrices and small linear circuits. Combining this construction with a simple dimension counting argument to show that any such polynomial map has a low degree annihilating polynomial completes the proof. As a corollary, we show that any derandomization of the polynomial identity testing problem will imply new circuit lower bounds. A similar (but incomparable) theorem was proved by Kabanets and Impagliazzo [Valentine Kabanets and Russell Impagliazzo, 2004].

研究の動機と目的

• 非剛性行列の低次多項式方程式の存在に関する Gesmundo, Hauenstein, Ikenmeyer, Landsberg の予想を解決すること。
• 深さ制限なしにおいても、小規模な線形回路で計算可能な行列の多項式方程式の次数に対する多項式上界を確立すること。
• 多項式恒等式テストの決定的化が、線形回路または剛性行列に対する新たな回路下界を示すことの可能性を示すこと。

提案手法

• Shpilka と Volkovich の低次多項式写像を活用し、非剛性行列および小規模な線形回路の普遍的パラメータ化を構築する。
• 次元数え上げの議論を適用し、このような多項式写像が低次の消去多項式を持つべきであることを示す。
• 低次のパラメータ化の存在をもとに、非剛性行列の代数的集合に対して次数が高々 $n^3$ の非自明な多項式方程式を導出する。
• 深さ制限なしの小規模な線形回路で計算可能な行列の代数的集合に対しても同様の次数上限を示す。
• 方程式の探索問題を次元 $\exp(\text{poly}(n))$ の空間上の線形方程式系の解法に還元し、PSPACE 構成を可能にする。
• 多項式サイズを保ちつつ効率的な評価を可能にする、ほぼ最小深さ（almost-MD）回路への変換を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gesmundo らの予想通り、非剛性行列を定義する多項式の次数は $n$ の多項式で抑えられるか？
• RQ2 回路の深さが無制限であっても、小規模な線形回路で計算可能な行列の多項式方程式は多項式次数で抑えられるか？
• RQ3 多項式恒等式テスト（PIT）の決定的化は、線形回路または剛性行列に対して新たな回路下界を示すか？

主な発見

• 本稿は、非剛性行列（$(\varepsilon n, \varepsilon n^2)$-剛性でない行列）の代数的集合が、次数が高々 $n^3$ の非自明な多項式によって定義されることを証明し、Gesmundo らの予想を確認した。これは、以前の指数的境界に比べて顕著な改善である。
• 深さ制限なしにおいても、サイズが $n^2/200$ 以下の線形回路で計算可能な行列の代数的集合に対して、同様の多項式次数の上限が確立された。これは、以前は未知であった。
• 構成により、入力 $1^n$ を受け取ると、非剛性行列の次数 $n^3$ の方程式の係数を出力する PSPACE アルゴリズムが得られる。
• 多項式恒等式テスト（PIT）が P に属するならば、少なくとも以下のいずれかが成り立つ：（1）硬い多項式の PSPACE 構成が存在する、または（2）NPオракルを用いた、サイズ $\Omega(n^2)$ の線形回路を必要とする行列の構成が可能である。
• この結果は、PIT の任意の決定的化が、新たな回路下界をもたらすことを示しており、決定的化と計算複雑性理論の関係を強化する。
• この手法はテンソルランクに対しても適用可能であり、PIT ∈ P の下では、PSPACE に硬いテンソルが存在するか、NP オラクルを用いて効率的に構成可能であることを示している。