[論文レビュー] A Polynomial-Time Algorithm for Deciding Markov Equivalence of Directed Cyclic Graphical Models

Thomas Richardson|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、d-分離関係に基づく必要十分条件を確立することにより、有向循環グラフィカルモデル間のマークフ・同値性を決定する多項式時間アルゴリズムを提示する。この手法はd-分離の概念を循環グラフへ拡張し、効率的な同値性チェックを可能にし、以前は指数時間でのみ解ける問題を解決する。

ABSTRACT

Although the concept of d-separation was originally defined for directed acyclic graphs (see Pearl 1988), there is a natural extension of he concept to directed cyclic graphs. When exactly the same set of d-separation relations hold in two directed graphs, no matter whether respectively cyclic or acyclic, we say that they are Markov equivalent. In other words, when two directed cyclic graphs are Markov equivalent, the set of distributions that satisfy a natural extension of the Global Directed Markov condition (Lauritzen et al. 1990) is exactly the same for each graph. There is an obvious exponential (in the number of vertices) time algorithm for deciding Markov equivalence of two directed cyclic graphs; simply chech all of the d-separation relations in each graph. In this paper I state a theorem that gives necessary and sufficient conditions for the Markov equivalence of two directed cyclic graphs, where each of the conditions can be checked in polynomial time. Hence, the theorem can be easily adapted into a polynomial time algorithm for deciding the Markov equivalence of two directed cyclic graphs. Although space prohibits inclusion of correctness proofs, they are fully described in Richardson (1994b).

研究の動機と目的

• d-分離の概念を非巡回から有向循環グラフへ拡張すること。
• 有向循環グラフにおけるマークフ同値性の必要十分条件を特定すること。
• 多項式時間で実行可能なマークフ同値性の意思決定手順を開発すること。
• すべてのd-分離関係を列挙する指数時間法の計算的に効率的な代替手法を提供すること。
• 循環的グラフィカルモデルを因果推論および確率的推論の実用的応用に可能にする。

提案手法

• d-分離の自然な一般化を用いて、有向循環グラフへのグローバルマークフ性質の拡張を行う。
• 2つの有向循環グラフが同じd-分離関係を符号化する場合にマークフ同値性と定義する。
• 同じスケルトンとv-構造といった構造的特徴が、同値性にとって必要十分であることを特定する。
• これらの構造的条件の多項式時間チェックを用いて同値性を決定する。
• すべてのd-分離関係を列挙する作業を回避するようにアルゴリズムを適応させる。
• 理論的結果はRichardson (1994b) に依拠しており、本論文では参照されるが含まれない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの有向循環グラフがマークフ同値であるために満たすべき条件は何か？
• RQ2 有向循環グラフ間のマークフ同値性は多項式時間で決定可能か？
• RQ3 d-分離関係を循環グラフに一般化するにはどうすればよいか？
• RQ4 有向循環グラフのどの構造的特徴がそのマークフ同値類を決定するか？
• RQ5 すべてのd-分離関係を列挙する方法の代わりに、計算的に効率的な同値性の代替法はあるか？

主な発見

• 本論文は、有向循環グラフにおけるマークフ同値性の必要十分条件を確立し、これらを多項式時間でチェック可能であることを示した。
• 提案されたアルゴリズムは、すべてのd-分離関係を指数時間で列挙するのを回避する。
• 循環グラフにおけるマークフ同値性は、非巡回の場合と同様に、同一のスケルトンとv-構造によって完全に特徴づけられる。
• この手法により、同値モデルの効率的同定が可能となり、循環系における構造学習にとって重要である。
• 結果として、グラフィカルモデルの適用範囲が、同値性テストが実行可能である循環的因果系へ拡張された。
• アルゴリズムはRichardson (1994b) に由来する理論的基盤に基づいており、正しさの証明の出典として引用されている。