[論文レビュー] A Polynomial Time Algorithm for Graph Isomorphism

Reiner Czerwinski|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2007

Algorithms and Data Compression参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、グラフ同型性の多項式時間アルゴリズムとして主張されたものに対して批判を呈し、それが固有値が同一であるかどうかをチェックするのみであるため、誤りであることを示している。著者らは、非同型のグラフ—特にSRG(36,14,4,6)における強正則グラフ—が同じ固有値を持つことがあることを示しており、アルゴリズムの根幹にある前提を無効にしている。

ABSTRACT

We claimed that there is a polynomial algorithm to test if two graphs are isomorphic. But the algorithm is wrong. It only tests if the adjacency matrices of two graphs have the same eigenvalues. There is a counterexample of two non-isomorphic graphs with the same eigenvalues.

研究の動機と目的

• 多項式時間グラフ同型性アルゴリズムの主張の妥当性を評価すること。
• アルゴリズムが固有値比較に依存しているという根幹的な欠陥を特定すること。
• 反例の構築により、固有値の同一性がグラフ同型性の十分条件でないことを実証すること。
• 非同型のグラフを区別するためのスペクトル不変量の限界を強調すること。

提案手法

• 同型のグラフは必ず同じ固有値を持つという、元のアルゴリズムの主張を分析すること。
• 強正則グラフ（SRG）の理論を応用して、同じ固有値を持つ反例を構築すること。
• SRG(n,k,a,c)パラメータ化を用いて、固定パラメータn=36, k=14, a=4, c=6を持つグラフを定義すること。
• すべてのSRG(n,k,a,c)に属するグラフが同じ固有値を持つという既知の数学的結果を活用すること。
• SRG(36,14,4,6)に180個のペアワイズ非同型グラフが存在し、すべて同じスペクトルを持つことを確認すること。
• 固有値の同一性が同型性を意味しないこと、したがってアルゴリズムの基礎が無効であることを立証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の隣接行列固有値を持つ非同型のグラフは存在するか？
• RQ2 固有値比較はグラフ同型性の十分条件となるか？
• RQ3 強正則グラフは、スペクトル同型性テストに対する反例を構築するためにどのような役割を果たすか？
• RQ4 SRG(36,14,4,6)クラス内に、同じスペクトルを持つ非同型グラフはいくつ存在するか？
• RQ5 同型性の必要条件を正しく特定しているにもかかわらず、なぜ元のアルゴリズムは失敗するのか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、固有値比較に依存しているため誤りであり、これはグラフ同型性の十分条件でない。
• 同じ固有値を持つ非同型のグラフが存在し、アルゴリズムの根幹的仮定を反証している。
• 特に、SRG(36,14,4,6)クラス内に180個のペアワイズ非同型グラフが存在し、すべて同じ固有値を持つ。
• 固有値スペクトルはグラフ同型性の必要条件ではあるが十分条件ではない。
• 同じパrameters（n,k,a,c）を持つ強正則グラフは、同型でない場合でも必ず同じ固有値を持つ。
• 反例により、一般のグラフではスペクトル不変量だけでは同型性を区別できないことが示された。