[論文レビュー] A polynomial time algorithm for the linearization problem of the QSPP and its applications

Hao Hu, Renata Sotirov|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有向無閉路グラフ（DAG）上の二次最短経路問題（QSPP）の線形化問題をO(nm³)時間で解く多項式時間アルゴリズムを提示する。この線形化を活用して、QSPPの下界の族を構築し、既存の手法を上回る最適な線形計画法による下界を含む。

ABSTRACT

Given an instance of the quadratic shortest path problem (QSPP) on a digraph $G$, the linearization problem for the QSPP asks whether there exists an instance of the linear shortest path problem on $G$ such that the associated costs for both problems are equal for every $s$-$t$ path in $G$. We prove here that the linearization problem for the QSPP on directed acyclic graphs can be solved in ${\mathcal O}(nm^{3})$ time, where $n$ is the number of vertices and $m$ is the number of arcs in $G$. By exploiting this linearization result, we introduce a family of lower bounds for the QSPP on acyclic digraphs. The strongest lower bound from this family of bounds is the optimal solution of a linear programming problem. To the best of our knowledge, this is the first study in which the linearization problem is exploited to compute bounds for the corresponding optimization problem. Numerical results show that our approach provides the best known linear programming bound for the QSPP. We also present a lower bound for the QSPP that is derived from a sequence of problem reformulations, and prove finite convergence of that sequence. This lower bound belongs to our family of linear bounds, and requires less computational effort than the best bound from the family.

研究の動機と目的

• 有向無閉路グラフ上でのQSPPの線形化問題を多項式時間で解くこと。
• 線形化の結果を活用して、QSPPの有効な下界を導出すること。
• 従来の手法よりもタイトな下界を提供する、線形計画法に基づく新しい下界族を導入すること。
• 有限収束を示す問題再定式化の系列を用いて下界を構築し、計算コストを低減すること。
• 実験的に、提案された下界が文献に既知の下界を上回ることを示すこと。

提案手法

• 線形化問題は、s-t経路上の二次コスト関数が同じ経路上で線形コスト関数として表現可能かどうかをチェックする多項式時間アルゴリズムで解かれる。
• アルゴリズムの実行時間はO(nm³)であり、nは頂点数、mは有向グラフの弧数を表す。
• 線形化の結果を活用して下界の族を構築し、最も強い下界は線形計画法緩和問題の最適解から得られる。
• 問題再定式化の系列を用いて代替の下界を生成し、有限回の収束が証明されている。
• 再定式化に基づく下界は、LP族から得られる最良の下界よりも少ない計算負荷で得られることを示した。
• 数値実験により、提案された下界が既存のベンチマークと比較して有効であることが検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向無閉路グラフ上でのQSPPの線形化問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 線形化の結果を活用して、QSPPの強い下界を生成できるか？
• RQ3 有限収束を示す問題再定式化の系列から得られる下界の計算複雑度と品質はいかほどか？
• RQ4 提案されたLPベースの下界は、既存の下界と比較してタイトさと計算コストの両面で優れているか？
• RQ5 線形化フレームワークを用いて、従来の手法よりも効果的な下界を設計できるか？

主な発見

• 有向無閉路グラフ上でのQSPPの線形化問題はO(nm³)時間で解けることから、多項式時間解法が確立された。
• 提案された下界族の中で最も強い下界は、線形計画法問題の最適解であり、QSPPに対して既存の最良のLP下界を提供する。
• 再定式化に基づく下界は有限ステップで収束し、LP族から得られる最良の下界よりも計算負荷が小さい。
• 数値結果により、提案されたLPベースの下界が文献に既知の線形計画法下界を上回ることが確認された。
• 本研究は、QSPPの下界を計算するために線形化を活用した初の研究であり、二次最短経路問題における下界開発の新しい道筋を提示した。
• 本研究で提示された下界族には、タイトさが高く、計算複雑度が低い選択肢が含まれており、実用的応用において柔軟性を提供する。