[論文レビュー] A Polynomial Time Algorithm for The Traveling Salesman Problem

S. A. Gubin|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非対称かつ多項式サイズの線形計画法を用いてATSP多面体を表現することで、非対称巡回セールスマン問題（ATSP）の多項式時間アルゴリズムを提示する。頂点再ラベル化制約を符号化する適合性行列を用い、有向ハミルトン閉路（DHC）問題を多項式時間で解ける線形方程式・不等式の系に還元する。これが正しければ、P = NP が成立する。

ABSTRACT

The ATSP polytope can be expressed by asymmetric polynomial size linear program.

研究の動機と目的

• 非対称TSP多面体が多項式サイズの線形計画法で表現可能かどうかという未解決の問題を解消すること。
• 線形計画法を用いてNP完全な有向ハミルトン閉路（DHC）問題に多項式時間で解を提供すること。
• ATSPがサイズO(n^4)の線形計画法に還元可能であり、多項式時間で解けることを示すこと。
• 線形系の解空間が有向グラフ内のハミルトン閉路に正確に対応することを示すこと。
• Yannakakisの対称性の障壁を回避する意味で、この手法が非対称であることを確立すること。

提案手法

• DHC問題を二次不等式の系として表現：$ A_G \geq X S X^T $、ここで $ X $ は置換行列、$ S $ は巡回置換行列である。
• 適合性行列 $ C = (C_{ij})_{n \times n} $ を導入し、各ブロック $ C_{ij} $ は頂点対 $ (\mu, \nu) $ が隣接関係に基づいて $ (i, j) $ に再ラベル化可能かどうかを符号化する。
• DHCの意思決定および探索問題を線形方程式・不等式の系（1.8）および（1.9）として符号化する。ここで（1.9）は、適合しない要素にゼロ値を強制する。
• 適合性行列を用いて、DHC問題を $ \mathbb{R}^{n^4} $ 内の凸多面体に埋め込み、頂点がすべてのハミルトン閉路に対応するようにする。
• 標準的な多項式時間線形計画法アルゴリズム（例：Khachiyanの楕円体法やKarmarkarの内点法）を用いてこの系を解く。
• （1.8）および（1.9）で定義される実行可能集合上で重み付き和 $ \sum w_{ij} x_{ij\mu\nu} $ を最小化することで、ATSPへの拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yannakakisの対称形式に関する結果にもかかわらず、非対称な多項式サイズの線形計画法によってATSP多面体が表現可能か？
• RQ2 有向ハミルトン閉路（DHC）問題は、線形計画法の定式化により多項式時間で解けるか？
• RQ3 適合性行列による符号化が、すべての有効な頂点再ラベル化を捉え、ハミルトン閉路が正確に実行可能解に対応するか？
• RQ4 得られる線形系により、任意の実数重みを含むATSPに対しても多項式時間で解が得られるか？
• RQ5 この手法は、ループを許す（多重）有向グラフにおける部分グラフ同型性問題に一般化可能か？

主な発見

• 論文は、非対称な定式化を用いて、サイズ $ O(n^4) $ の線形計画法を構築し、ATSP多面体を表現している。
• 線形系（1.8）および（1.9）の実行可能集合は、すべてのハミルトン閉路インシデントベクトルの凸包に正確に対応する。
• （1.8）および（1.9）で定義される多面体の頂点数を $ n $ で割った値は、有向グラフ内の異なるハミルトン閉路の数に等しい。
• 0-1係数構造のため、既知のLPアルゴリズムを用いて、強多項式時間でこの系を解くことができる。
• 重み付き有向グラフにおけるハミルトン閉路の最小総重みは、線形計画法（2.1）の最適値に一致する。
• この手法は、ループを許す（多重）有向グラフにおける部分グラフ同型性問題に、適合制約の微調整を加えることで一般化可能である。