[論文レビュー] A polynomial-time approximation algorithm for the number of k-matchings in bipartite graphs

Shmuel Friedland, Daniel Levy|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2006

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、二部グラフにおけるkマッチングの個数を、より大きな二部グラフの行列のpermanentに問題を還元することで、多項式時間近似アルゴリズムを提示する。この還元には、kマッチングと完全マッチングの関係を新たに確立する変換が用いられる。主な結果は、非負行列のpermanentに関する既知のfprasを用いることで、二部グラフにおけるkマッチングの個数を完全多項式時間で近似可能であるということである。

ABSTRACT

We show that the number of $k$-matching in a given undirected graph $G$ is equal to the number of perfect matching of the corresponding graph $G_k$ on an even number of vertices divided by a suitable factor. If $G$ is bipartite then one can construct a bipartite $G_k$. For bipartite graphs this result implies that the number of $k$-matching has a polynomial-time approximation algorithm. The above results are extended to permanents and hafnians of corresponding matrices.

研究の動機と目的

• 二部グラフにおけるkマッチングの個数を近似する完全多項式時間の確率的近似スキーム（fpras）の存在を確立すること。
• 非負行列のpermanentに関するfprasを、kマッチングおよび部分permanentの計算へと拡張すること。
• 一般グラフにおけるkマッチングの個数を数える問題の計算複雑度が、hafnianを用いた完全マッチングの計算と同等であることを示すこと。
• 統計力学モデルにおけるマッチング多項式および圧力関数を近似する理論的基盤を提供すること。
• 行列変換を用いて、permanent、hafnian、およびkマッチングの間の構造的関係を明確にすること。

提案手法

• 元のグラフ $G$ におけるkマッチングの個数に比例するように、$2n - 2k$ 個の頂点を持つ変換済み二部グラフ $G_k$ を構築し、$G_k$ における完全マッチングの個数を計算する。
• 恒等式 $\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits_k B = \frac{\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits B_k}{(m-k)!(n-k)!}$ を用いて、$k$-マッチングをより大きな行列 $B_k$ のpermanentに関連付ける。
• Jerrum, Sinclair, および Vigoda が提示した非負行列のpermanentに関するfprasを適用し、$\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits_k B$ を効率的に近似する。
• 一般グラフの場合、$\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits_k A = \frac{\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits A_k}{(m-2k)!}$ を満たす行列 $A_k$ を定義し、$k$-マッチングをより大きな行列のhafnianに関連付ける。
• 対称的正定値半定値行列の構造とブロック行列構成を用いて、重みとマッチングの対応関係を保持する。
• 双曲的多項式および行列のpermanentに関する既知の結果を活用し、還元の理論的妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二部グラフにおけるkマッチングの個数は多項式時間で近似可能か？
• RQ2 拡張されたグラフ構成におけるkマッチングと完全マッチングの関係は何か？
• RQ3 非負行列のpermanentに関するfprasの存在が、二部グラフにおけるkマッチングのfprasの存在を示唆するか？
• RQ4 hafnianとpermanentは、一般グラフにおけるkマッチングの計算とどのように関係するか？
• RQ5 任意のグラフにおけるkマッチングの個数を数える問題の計算複雑度は、完全マッチングの計算と同等か？

主な発見

• 二部グラフ $G$ におけるkマッチングの個数は、$B_k$ を $G$ の接続行列から構築した行列として、$\frac{\mathop{\mathrm{perm}}\nolimits B_k}{(m-k)!(n-k)!}$ に等しい。
• この変換により、非負行列のpermanentに関するfprasを用いて、kマッチングの個数を多項式時間で近似可能となる。
• 一般グラフの場合、$\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits_k A = \frac{\mathop{\mathrm{haf}}\nolimits A_k}{(m-2k)!}$ が成り立ち、kマッチングの計算がhafnianによる完全マッチングの計算と同等の難易度であることを示している。
• 非負行列のpermanentに関するfprasが存在する以上、二部グラフにおけるkマッチングのfprasの存在が保証される。
• この手法は重み付きグラフへと拡張可能であり、二部グラフの生成マッチング多項式の計算可能な近似を提供する。
• この結果により、無限格子における統計力学モデルの圧力関数も、このフレームワークを用いて近似可能であると示唆される。