[論文レビュー] A Polynomial Time Bounded-error Quantum Algorithm for Boolean Satisfiability

Ahmed Younes, Jonathan E. Rowe|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反復的局所的ノーテーションと局所的測定を用いて、充足される節の数を最大化する変数割り当ての振幅を増幅することで、MAX-E3-SAT問題（根本的なNP困難問題）に対してBQPに属する多項式時間かつ誤差有界の量子アルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、m個の節に対して$O(m^2)$時間、n個の変数に対して最悪$O(n^6)$時間で動作し、任意の$\epsilon > 0$に対して成功確率$1 - \epsilon$を達成する。これは、相対的でない設定下でNP ⊆ BQPであることを示している。

ABSTRACT

The aim of the paper is to answer a long-standing open problem on the relationship between NP and BQP. The paper shows that BQP contains NP by proposing a BQP quantum algorithm for the MAX-E3-SAT problem which is a fundamental NP-hard problem. Given an E3-CNF Boolean formula, the aim of the MAX-E3-SAT problem is to find the variable assignment that maximizes the number of satisfied clauses. The proposed algorithm runs in $O(m^2)$ for an E3-CNF Boolean formula with $m$ clauses and in the worst case runs in $O(n^6)$ for an E3-CNF Boolean formula with $n$ inputs. The proposed algorithm maximizes the set of satisfied clauses using a novel iterative partial negation and partial measurement technique. The algorithm is shown to achieve an arbitrary high probability of success of $1-ε$ for small $ε>0$ using a polynomial resources. In addition to solving the MAX-E3-SAT problem, the proposed algorithm can also be used to decide if an E3-CNF Boolean formula is satisfiable or not, which is an NP-complete problem, based on the maximum number of satisfied clauses.

研究の動機と目的

• NPがBQPに含まれるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• MAX-E3-SATを有界誤差と多項式リソースで解く具体的な量子アルゴリズムを提供すること。
• E3-SATのようなNP完全問題が、量子計算を用いて高い確率で決定可能であることを示すこと。
• 従来の量子手法の制限を克服するため、標準的なユニタリ反復の代わりに振幅増幅における局所的測定を用いること。

提案手法

• nキュービットにハダマードゲートを適用して、すべての$2^n$個の変数割り当ての重ね合わせを準備する。
• 各E3-CNF節をGT4量子ゲートとして符号化し、変数割り当てを充足状態を示す真偽ベクトルとエンタングルする。
• 変数割り当ての充足節数に基づいて補助キュービットに対して反復的局所的ノーテーションを適用する、新規な振幅増幅技術を導入し、より良い解の振幅を増幅する。
• 局所的測定を用いて状態を最良の解へ収束させ、成功確率を増幅させるプロセスを繰り返す。
• 真偽ベクトル内の1の密度を向上させるためにダミー節を追加し、最良状態を測定する初期成功確率を向上させる。
• アルゴリズムはm個の節に対して$O(m^2)$時間で実行され、n個の変数に対して最悪$O(n^6)$時間で動作し、任意の$\epsilon > 0$に対して成功確率$1 - \epsilon$を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界誤差と多項式時間でMAX-E3-SATを解く量子アルゴリズムは存在するか？その結果、NPがBQPに含まれることになるか？
• RQ2 振幅増幅における局所的測定の使用は、標準的なユニタリ振幅増幅よりも効率的な解決法を可能にするか？
• RQ3 多項式リソースのみを用いて、任意の$1 - \epsilon$の成功確率を達成できるか？
• RQ4 局所的測定を用いた量子振幅増幅は、E3-CNF論理式における充足節数を最大化するために利用可能か？
• RQ5 この手法は、出力状態ですべてのm個の節が充足されているかを確認することで、E3-CNF論理式の充足可能性を決定するために拡張可能か？

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、m個の節に対して$O(m^2)$時間でMAX-E3-SATを解き、n個の変数に対して最悪$O(n^6)$時間で実行される。
• 多項式リソース（キュービットと操作）を用いて、任意の$\epsilon > 0$に対して少なくとも$1 - \epsilon$の成功確率を達成する。
• ダミー節の使用により真偽ベクトル内の1の密度が向上し、$Pr_{\max} = 0.99$の場合、最初の反復における成功確率が99%を超える。
• 出力状態ですべてのm個の節が充足されているかを確認することで、E3-CNF論理式の充足可能性を同定できる。
• この手法はE$k$-CNF論理式へ一般化可能であり、$O(n^{2k})$回の反復を要する。これは3-CNFを超えたスケーラビリティを示している。
• この結果は、非相対的世界においてNP ⊆ BQPであることを示唆し、BQPがNPを含まないと広く信じられているのをくつがえすものである。