[論文レビュー] A polynomial-time construction of a hitting set for read-once branching programs of width 3

Jiřı́ Šı́ma, Stanislav Žák|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、幅3の1回読み込みブランチングプログラムのための、初めての明示的で多項式時間のヒット集合を提示する。このヒット集合は、5/6より大きい受容確率を達成する。本稿では、これらのプログラムのヒット集合を特徴付ける「豊かさ条件」を導入し、アロンらの手法により構築されたほぼO(log n)-wise独立な集合が、この条件を満たすことを証明し、したがって有効なヒット集合を生成することを示す。

ABSTRACT

Recently, an interest in constructing pseudorandom or hitting set generators for restricted branching programs has increased, which is motivated by the fundamental issue of derandomizing space-bounded computations. Such constructions have been known only in the case of width 2 and in very restricted cases of bounded width. In this paper, we characterize the hitting sets for read-once branching programs of width 3 by a so-called richness condition. Namely, we show that such sets hit the class of read-once conjunctions of DNF and CNF (i.e. the weak richness). Moreover, we prove that any rich set extended with all strings within Hamming distance of 3 is a hitting set for read-once branching programs of width 3. Then, we show that any almost $O(\log n)$-wise independent set satisfies the richness condition. By using such a set due to Alon et al. (1992) our result provides an explicit polynomial-time construction of a hitting set for read-once branching programs of width 3 with acceptance probability $\varepsilon>5/6$. We announced this result at conferences more than ten years ago, including only proof sketches, which motivated a number of subsequent results on pseudorandom generators for restricted read-once branching programs. This paper contains our original detailed proof that has not been published yet.

研究の動機と目的

• 幅3の1回読み込みブランチングプログラムのための明示的で多項式時間のヒット集合を構築すること。
• 幅2を越える空間有界計算の確率的除去という長年の課題に取り組むこと。
• 従来の手法が失敗する有界幅モデルに、擬似乱数生成子とヒット集合の既知の結果を拡張すること。
• ブランチングプログラムの構造に依存しないヒット集合を特徴付ける組合せ的豊かさ条件を形式化すること。
• ほぼO(log n)-wise独立な集合がこの豊かさ条件を満たし、有効なヒット集合を生成することを示すこと。

提案手法

• 1回読み込みのDNFとCNFの論理積に対するヒット集合を特徴付ける「弱い豊かさ」条件を導入すること。
• 豊かさ条件を満たす任意の集合に、ハミング距離3以内のすべての文字列を追加することで、幅3の1-ブランチングプログラムのヒット集合が得られることを証明すること。
• アロンら（1992年）の手法により構築されたほぼ(C log n)-wise独立な集合が、適切な定数Cに対して豊かさ条件を満たすことを示すこと。
• 確率的補題とテイラー級数近似（双曲正弦関数の境界を用いて）を用いて、豊かさを持つ集合の存在確率に正の下限を確立すること。
• このようなほぼk-wise独立な集合が多項式時間で構築可能であるという事実を活用し、全体の構成が効率的であることを保証すること。
• 集中度の不等式と多項式展開を用いて、豊かさ条件の分析における誤差項を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅3の1回読み込みブランチングプログラムのための多項式時間で構築可能なヒット集合を設計できるか？
• RQ2 幅3の1-ブランチングプログラムのヒット集合を、その構造に依存せずに特徴付ける組合せ的条件は何か？
• RQ3 ほぼO(log n)-wise独立な集合がこの条件を満たし、したがって有効なヒット集合を生成するか？
• RQ4 豊かさ条件を用いて、有界幅モデルにおける擬似乱数生成子とヒット集合の間のギャップを埋めることは可能か？
• RQ5 このアプローチを幅4または一般の有界幅に拡張することは可能か？

主な発見

• 幅3の1回読み込みブランチングプログラムのための多項式時間で構築可能なヒット集合が、受容確率ε > 5/6 を満たす形で達成された。
• 豊かさ条件—DNFとCNFの1回読み込み論理積をカバーする条件—が、幅3の1-ブランチングプログラムの有効なヒット集合を特徴付ける。
• 豊かさ条件を満たす任意の集合に、ハミング距離3以内のすべての文字列を追加すると、幅3の1-ブランチングプログラムのヒット集合が得られる。
• アロンら（1992年）が構築したほぼO(log n)-wise独立な集合は、豊かさ条件を満たし、したがって明示的なヒット集合を生成する。
• 解析により、このような集合の存在確率に正の下限が保証され、その構築が空虚でないことが示された。
• この結果は、BPLの確率的除去を進める上で重要な一歩であり、有界幅モデルにおける擬似乱数生成子の改善にも寄与する。