[論文レビュー] A polynomial-time relaxation of the Gromov-Hausdorff distance

Soledad Villar, Afonso S. Bandeira+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限な距離空間および点群同士を比較するための実行可能でない擬距離を提供する多項式時間の半定値計画（SDP）緩和手法を提案する。この緩和手法により、計算が効率的に行え、真のGromov-Hausdorff距離の下界を提供するとともに、点集合間の緩和された対応関係も得られる。数値実験を通じて、形状一致および生物学的データに対する有効性が検証された。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff distance provides a metric on the set of isometry classes of compact metric spaces. Unfortunately, computing this metric directly is believed to be computationally intractable. Motivated by applications in shape matching and point-cloud comparison, we study a semidefinite programming relaxation of the Gromov-Hausdorff metric. This relaxation can be computed in polynomial time, and somewhat surprisingly is itself a pseudometric. We describe the induced topology on the set of compact metric spaces. Finally, we demonstrate the numerical performance of various algorithms for computing the relaxed distance and apply these algorithms to several relevant data sets. In particular we propose a greedy algorithm for finding the best correspondence between finite metric spaces that can handle hundreds of points.

研究の動機と目的

• 正確なGromov-Hausdorff距離の計算の非効率性（NP困難）に対処すること。
• 幾何的解釈性を保ちつつ、真の距離の下界を提供する、実行可能な凸緩和を構築すること。
• 特に形状一致および点登録タスクにおいて、有限な距離空間間の対応関係を実用的に計算可能にすること。
• 3次元モデルや生物学的点群を含む実世界のデータセット上で、緩和手法の性能を検証すること。
• Gromov-Hausdorff距離の上界が保証される近似対応関係を効率的に得る非凸最適化アルゴリズムを提案すること。

提案手法

• 点集合間の対応関係に関するミニマックス最適化としてGromov-Hausdorff距離を定式化する。
• 対応行列をトレース制約を伴う正定値行列にアップラーピングすることで、問題を半定値計画（SDP）に緩和する。
• SDP緩和を用いて、多項式時間で計算可能で三角不等式を満たす擬距離を計算する。
• 緩和解からスパースかつ一対一の対応関係を回復するため、増強ラグランジュ法に基づくグリーディー非凸最適化アルゴリズムを導入する。
• SDP出力から二値解を促進するために、しきい値処理とパrameter調整（σ₀, μ）を適用する。
• 実データ評価においては、3次元メッシュ上の測地的距離と、特徴点集合上のユークリッド距離を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-Hausdorff距離の凸緩和は、多項式時間で計算可能であり、同時に主要な距離的性質を保持できるか？
• RQ2 提案されたSDP緩和は、真のGromov-Hausdorff距離の意味的な下界を提供する擬距離を生成するか？
• RQ3 事前の対応関係がなくても、点群間の幾何的類似性を緩和手法が的確に捉えられるか？
• RQ4 非凸最適化戦略は、既知の真値マッピングがなくても、緩和解から高品質な対応関係を回復できるか？
• RQ5 実データセットにおいて、緩和距離の性能は、専門家ラベルの特徴点手法やコンフォーマルWasserstein距離と比較してどうか？

主な発見

• SDP緩和により、多項式時間で擬距離が計算され、Gromov-Hausdorff距離の下界として機能する。その距離的振る舞いには理論的裏付けがある。
• 増強ラグランジュ法に基づく非凸最適化アルゴリズムにより、パrameter σ₀とμを適切に選択すれば、スパースな解に収束する一対一の対応関係が効率的に回復できる。
• 115個の歯（1つあたり16個の専門家ラベル特徴点）からなるデータセットにおいて、緩和距離は最近傍分類で85%の正確度を達成した。これは、コンフォーマルWasserstein法の91%および特徴点ベース剛体アライメント法の92%と同等の性能であった。
• 標準のラップトップ上で50点の3次元点群を6分未満で処理でき、中程度のサイズのデータセットへのスケーラビリティを示した。
• 対称的な形状（例：犬）に対しても良好に動作し、内在的な対称性にもかかわらず、対応する肢同士を正しくマッチングできた。ただし、サンプリングのばらつきによりわずかな誤マッチングが生じた。
• 緩和手法の性能は幾何的仮定に強く、滑らかな表面や明示的な多様体構造を必要としないため、他の競合手法とは異なり、より広い条件下でも安定して動作する。