[論文レビュー] A Polynomial Time Version of LLL With Deep Insertions

Felix Fontein, Michael Schneider+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Cryptography and Data Security参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、深さ挿入を伴うDeepLLLの、初めての決定的多項式時間版であるPotLLLを提示する。潜在関数に基づく挿入戦略を導入することで、多項式時間内で終了を保証し、古典的LLLよりも著しく優れた出力品質を達成しながらも、競争力ある実行時間を維持する。実際には、前処理を施さない基底においてBKZ-5を上回り、β=5のDeepLLLと同等の性能を発揮する。

ABSTRACT

Lattice reduction algorithms have numerous applications in number theory, algebra, as well as in cryptanalysis. The most famous algorithm for lattice reduction is the LLL algorithm. In polynomial time it computes a reduced basis with provable output quality. One early improvement of the LLL algorithm was LLL with deep insertions (DeepLLL). The output of this version of LLL has higher quality in practice but the running time seems to explode. Weaker variants of DeepLLL, where the insertions are restricted to blocks, behave nicely in practice concerning the running time. However no proof of polynomial running time is known. In this paper a new variant of DeepLLL with provably polynomial running time is presented. We compare the practical behavior of the new algorithm to classical LLL, BKZ as well as blockwise variants of DeepLLL regarding both the output quality and running time.

研究の動機と目的

• 従来、予測不能で多項式時間でない可能性があるため、決定的多項式時間版のDeepLLLを開発すること。
• 実際の応用において、古典的LLLおよびブロック単位のDeepLLLバージョンを凌駆する、より優れたヘルメート因子の出力品質を達成すること。
• 高品質な還元を維持しつつ、実行時間効率を損なわない理論的裏付けのあるDeepLLLの代替案を提供すること。
• さまざまな格子次元および前処理レベルにおいて、PotLLLの性能をBKZおよびDeepLLLバージョンと実験的に検証すること。
• 潜在関数最小化を用いた深さ挿入をBKZに統合し、さらなる性能向上の可能性を検討すること。

提案手法

• 各挿入が潜在関数を減少させることを保証する潜在関数を導入することで、多項式時間内で終了を保証する。
• 直接のグラム・シュミット係数の比較ではなく、潜在関数に基づいた修正された挿入基準を用いることで、より広範かつ効果的な挿入を可能にする。
• 挿入プロセスにブロック単位の構造を採用し、挿入をβサイズのブロックに制限することで、品質と効率のバランスを取る。
• 潜在関数の減少による終了保証を組み込んだ、新たな還元アルゴリズムであるPotLLLを実装する。
• 独立したベンチマークを可能にするために、BKZおよびDeepLLLと公平に比較可能な新たな実装を採用する。
• 潜在関数最小化をBKZに拡張し、多項式時間実行を維持したままより深い挿入を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高品質な出力を維持しつつ、決定的多項式実行時間であるDeepLLLの変種を設計できるか？
• RQ2 さまざまな格子次元および前処理レベルにおいて、PotLLLのヘリュート因子は古典的LLL、BKZ、DeepLLLと比べてどのように異なるか？
• RQ3 前処理を施さない（ヘルメート正規形の）基底において、PotLLLはヘリュート因子および実行時間の両面でBKZ-5を上回るか？
• RQ4 前処理を施した基底において、PotLLLの性能はβ=5およびβ=10のDeepLLLと比べてどうか？
• RQ5 潜在関数最小化をBKZに効果的に統合することで、多項式時間複雑性を保ちながら還元品質を向上させられるか？

主な発見

• 次元$n \leq 300$の格子において、PotLLLは平均$n$乗根ヘリュート因子が最大で$1.0153^n$に抑えられ、古典的LLLよりも著しく優れている。
• ヘルメート正規形の前処理を施さない基底において、PotLLLはヘリュート因子および実行時間の両面でBKZ-5を上回り、次元160程度までは顕著な優位性を示す。
• 前処理を施した基底（例：0.75-LLL後）では、PotLLLはBKZ-10よりわずかに遅いが、依然として競争力があり、長さの大きいベクトルを生成する。
• β=5のDeepLLLは、前処理を施さない基底においてヘリュート因子および実行時間の両面でBKZ-10を上回り、この設定下での優位性が明確である。
• 潜在関数最小化を用いたBKZ-5は、古典的DeepLLL（β=5）に近い出力品質を達成し、同様にBKZ-10にその挿入を適用すると、DeepLLL（β=10）に近い品質に近づく。
• 次元が180以上では、BKZ-10がβ=5のDeepLLLを上回るが、PotLLLは全テスト次元範囲で優れた性能を維持し、常に競争力を持つ。