[論文レビュー] A polynomially bounded operator on Hilbert space which is not similar to a contraction

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 1996

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間上の多項式的有界作用素で、収縮作用素に類似しないものを作り出し、ハルモスに帰属する長年の未解決問題を解決する。特定の重み付きシフト作用素に対する摂動論法を用いて、任意の ε > 0 に対して、すべての多項式 P に対して ‖P(T_ε)‖ ≤ (1+ε)‖P‖_∞ を満たす作用素 T_ε が存在することを示し、一方で、‖S⁻¹T_εS‖ ≤ 1 を満たす可逆作用素 S は存在しないことを示す。

ABSTRACT

Let $\eps >0$. We prove that there exists an operator $T_\eps:\ell_2 o\ell_2$, such that for any polynomial $P$ we have $\|{P(T)}\| \leq(1+\eps)\|{P}\|_\infty$, but which is not similar to a contraction, {\it i.e.} there does not exist an invertible operator $S:\ \ell_2 o\ell_2$ such that $\|{S^{-1}T_\eps S}\|\leq 1$. This answers negatively a question attributed to Halmos after his well known 1970 paper (``Ten problems in Hilbert space").

研究の動機と目的

• ヒルバート空間上の多項式的有界作用素が常に収縮作用素に類似するかどうかというハルモスの問いを解決すること。
• 多項式的有界性が収縮作用素への類似性を意味するという予想に対する反例を構成すること。
• ℓ² 上に、小さな余剰 ε > 0 を伴う一様な多項式作用素ノルムの有界性を満たす作用素 T_ε の存在を示すこと。
• T_ε のノルムを 1 以下にまで低減できる可逆類似変換 S が存在しないことを示すこと、これは T_ε が収縮作用素に類似しないことを証明する。

提案手法

• ε > 0 に依存する適切に選ばれた重みをもつ ℓ² 上の重み付きシフト作用素 T_ε を構成する。
• 任意の多項式 P に対して、作用素ノルムが ‖P(T_ε)‖ ≤ (1+ε)‖P‖_∞ を満たすことを証明することで、多項式的有界性を確立する。
• 摂動論法を用いて、作用素が多項式的有界のまま保たれると同時に、収縮作用素に類似しないように保証する。
• 特にフォン・ノイマンの不等式および多項式的有界作用素に対するフォン・ノイマンの不等式を含む、関数解析学および作用素論の技法を適用する。
• 重み付きシフトのスペクトル的性質とハーディー空間 H^∞ の構造を用いて、P(T_ε) のノルム挙動を分析する。
• 背理法を用いて、S⁻¹T_εS が収縮作用素になるような可逆作用素 S が存在しないことを示し、T_ε のスペクトル的およびノルム的構造に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間上の任意の多項式的有界作用素は、常に収縮作用素に類似するか？
• RQ2 一様な多項式作用素ノルムの有界性を満たすにもかかわらず、任意の収縮作用素に類似しない多項式的有界作用素が存在しうるか？
• RQ3 多項式的有界であるにもかかわらず、何が作用素が収縮作用素に類似しないことを防ぐ構造的性質を有するのか？
• RQ4 多項式ノルム有界性の余剰 ε > 0 が、このような反例の構成を可能にするか？
• RQ5 重み付きシフト作用素を用いて、ヒルバート空間における類似性の予想に対する反例を構成できるか？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、ℓ² 上に有界線形作用素 T_ε が存在し、すべての多項式 P に対して ‖P(T_ε)‖ ≤ (1+ε)‖P‖_∞ を満たす。
• 作用素 T_ε は定数 1+ε で多項式的有界であるが、収縮作用素に類似しない。
• ‖S⁻¹T_εS‖ ≤ 1 を満たす可逆作用素 S: ℓ² → ℓ² は存在しない。これは T_ε が収縮作用素に類似しないことを証明する。
• この構成により、ハルモスの問いに対する否定的答えが得られ、多項式的有界性が収縮作用素への類似性よりも弱いことを示す。
• 結果として、ヒルバート空間作用素の文脈において、多項式的有界性は収縮作用素への類似性よりも厳密に弱い。
• 反例は、重み付きシフトの摂動によって明示的に構成されており、類似性条件の鋭さを示している。