[論文レビュー] A Positive Mass Theorem Based on the Focusing and Retardation of Null Geodesics

Roger Penrose, Sorkin, R. D.+1 more|ArXiv.org|Jan 14, 1993

Relativity and Gravitational Theory参考文献 5被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における正の質量定理の新しい証明を提示する。その根拠は、光的測地線の因果的挙動に拠る。正のエネルギー密度は光的測地線を収束させ、遅延させるが、負の全質量ではそれらが進行させられることになり、測地線の共役点による矛盾が生じる。主な結果は、スピン場や完全な空間的超曲面を必要としない、全空間的領域に適用可能な正の質量定理である。これは因果構造と弱いエネルギー・曲率条件の下での測地線収束に依拠している。

ABSTRACT

A positive mass theorem for General Relativity Theory is proved. The proof is 4-dimensional in nature, and relies completely on arguments pertaining to causal structure, the basic idea being that positive energy-density focuses null geodesics, and correspondingly retards them, whereas a negative total mass would advance them. Because it is not concerned with what lies behind horizons, this new theorem applies in some situations not covered by previous positivity theorems. Also, because geodesic focusing is a global condition, the proof might allow a generalisation to semi-classical gravity, even though quantum violations of local energy conditions can occur there.

研究の動機と目的

• スピン場や完全な空間的超曲面に依存しない一般相対性理論における正の質量定理の確立。
• 負の全質量が光的測地線の挙動を通じて因果的不整合を引き起こすことを示すこと。
• 重力的時間遅延と収束に基づく、正の質量定理の物理的に直感的な基礎を提供すること。
• 外側領域が全空間的双曲的である限り、隠れた因果的反転（例えば、ホライズンの背後）を有する時空に対しても定理を拡張できること。
• 局所的エネルギー条件の破壊を避ける核心的議論により、半古典的重力への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 中心的な物理的メカニズムとして、光的測地線の収束と遅延を用いる。正のエネルギー密度は測地線を収束させ、遠方の測地線に対して遅延させる。
• 弱い曲率およびエネルギー条件の下で共役点が保証される光的測地線収束定理を適用する。
• 負の質量時空における矛盾を同定する。関連領域と非関連領域の境界にある光的測地線は、共役点を持たずに無限に延びる必要があるが、これは収束定理に反する。
• 測地線が十分に延長され、共役点が発生するようにするために、外側時空（すべてのホライズンの外側）が全空間的双曲的であることを要請する。
• アインシュタインの定理に類似した質量の定義のため、漸近的平坦性を用い、ミンコフスキー空間からの計量のずれの極限で質量を定義する。Komar型質量式は、零ベクトルと計量摂動を含む。
• ブーストされた点質量および静的な点質量の具体的な例を用いて、質量式の妥当性を検証し、ADM 4運動量と一貫していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果構造と測地線収束のみを用いて、スピン場や完全な空間的超曲面に依存しない正の質量定理を証明できるか？
• RQ2 特に、光的測地線の遅延または進行という挙動が、質量の正の性質を物理的に直感的に説明できるメカニズムを提供するか？
• RQ3 外側領域が全空間的双曲的であれば、ブラックホールの背後など因果的反転が隠されている時空に対しても定理を拡張できるか？
• RQ4 弱いエネルギー・曲率条件の下で光的測地線が収束することは、負の質量状況で矛盾を導くのに十分か？
• RQ5 この手法は、局所的エネルギー条件が破れる可能性がある半古典的重力へ一般化可能か？

主な発見

• 負の全質量では、一部の光的測地線が共役点を持たずに無限のアフィン距離にまで延長され、収束定理に反する。
• 収束定理は、弱い曲率およびエネルギー条件の下で、光的測地線に共役点が存在することを保証する。これは正のエネルギー密度が存在する場合には満たされる。
• このような測地線が共役点を持たずに存在できるはずがないため、収束条件が成立する限り、負の全質量は排除される。
• 質量は $ M^{ ext{total}} = -k^a P_a $ というKomar型式で計算され、具体的な例でADM 4運動量と一致する。
• ブーストされた状態では、全質量 $ M^+ + M^- $ が $ -2k imes P $ と一貫しており、異なる零方向に対しても質量式が妥当であることが検証された。
• 本定理は、スピン構造や完全な空間的超曲面を欠く時空に対しても適用可能であり、従来の定理の適用範囲を広げた。