[論文レビュー] A positive mass theorem for low-regularity metrics

Jde Grant, Nathalie Tassotti|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Sobolev空間 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ 内の連続なリーマン計量に対して、スカラー曲率が分布的意味で非負であるとき、ADM質量が非負であることを示す正質量定理を確立する。証明は、滑らかな計量による近似、重み付きラプラス方程式の解を用いた共形変形、およびコンパクト性の議論を用いて、収束下での質量の下方連続性を示す。

ABSTRACT

We prove a positive mass theorem for continuous Riemannian metrics in the Sobolev space $W^{2, n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$. We argue that this is the largest class of metrics with scalar curvature a positive a.c. measure for which the positive mass theorem may be proved by our methods.

研究の動機と目的

• 低正則性の計量、特に Sobolev空間 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ 内の計量への正質量定理の拡張を図ること。
• スカラー曲率が分布的意味で非負であるという仮定の下で、そのような計量のADM質量が非負であることを確立すること。
• 共形法と近似技術を用いて正質量定理を証明可能な最適な正則性クラスを同定すること。
• 正則性が $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}$ よりも低下した場合、あるいは連続性が失われた場合、この手法の限界を明らかにすること。
• このクラスにおける剛性結果（すなわち、質量がゼロならば平坦）の可能性と、非平坦で質量がゼロの計量の存在を検討すること。

提案手法

• 連続的で低正則性の計量 $\mathbf{g}$ を、$t\to 0$ のとき局所一様収束および $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ 収束する一意パラメータ族の滑らかな計量 $\{\mathbf{g}_t\}_{t>0}$ で近似する。
• コンパクト集合 $K$ 上での滑らか化と分区画の単位を用いて、近似 $\mathbf{g}_t$ を構成し、$M\setminus K$ 上で元の計量を保存する。
• $\rho(t)\to 1$ を満たす $\frac{1}{\rho(t)}\mathbf{g}_t \leq \mathbf{g} \leq \rho(t)\mathbf{g}_t$ を用いて計量の比較とSobolev定数を制御する。
• スカラー曲率 $s_{\mathbf{g}_t} \to s_{\mathbf{g}}$ が $L^{n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ で収束することを証明し、$t\to 0$ のとき $\|[s_{\mathbf{g}_t}]_- olimits\|_{L^{n/2}(M)} \to 0$ を示す。
• 漸近的挙動 $u_t \sim A_t r^{2-n}$ を満たす $\Delta_{\mathbf{g}_t} u_t + c_n [s_{\mathbf{g}_t}]_- u_t = 0$ の解を構成し、存在および一意性を保証する。
• 共形スケーリング $\widehat{\mathbf{g}}_t = u_t^{4/(n-2)} \mathbf{g}_t$ を適用し、非負なスカラー曲率をもつ計量を得て、その質量が $\mathbf{g}_t$ の質量と積分的恒等式で関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的ではあるが $C^2$ でない計量、特に Sobolev空間 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ 内の計量に対しても正質量定理を拡張できるか。
• RQ2 この共形近似法を用いて正質量定理が成り立つ最大のクラスは $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)\cap C^0(M)$ であるか。
• RQ3 計量が連続性を欠く、またはスカラー曲率が $L^{n/2}$ に属さない場合、近似における質量の振る舞いはどうなるか。
• RQ4 このクラスの計量に対して、剛性結果（すなわち、質量がゼロならば平坦）を確立できるか。
• RQ5 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)\cap C^0(M)$ 内に非平坦で、非負なスカラー曲率とゼロのADM質量をもつ漸近的に平坦な計量は存在するか。

主な発見

• 分布的意味で非負なスカラー曲率をもつ、$W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ 内の連続なリーマン計量のADM質量は非負である。
• スカラー曲率 $s_{\mathbf{g}}$ は分布として適切に定義され、$L^{n/2}_{\mathrm{loc}}(M)$ に属する。また、$t\to 0$ のとき $[s_{\mathbf{g}_t}]_-$ は $L^{n/2}(M)$ でゼロに収束する。
• 方程式 $\Delta_{\mathbf{g}_t} u_t + c_n [s_{\mathbf{g}_t}]_- u_t = 0$ を満たす共形因子 $u_t$ は、$w_t = u_t - 1$ とおくと $\|\nabla_{\mathbf{g}_t} w_t\|_{L^2} \to 0$ が $t\to 0$ のとき成り立つ。
• $\widehat{\mathbf{g}}_t$ の質量は $\mathbf{g}_t$ の質量に収束し、$m(\widehat{\mathbf{g}}_t) \geq 0$ であることから、$m(\mathbf{g}) \geq 0$ が従う。
• 計量 $\mathbf{g}$ の連続性が失われると、近似 $\mathbf{g}_t$ はもはや局所一様収束しなくなり、重要な推論が破綻する。
• $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}(M)\cap C^0(M)$ は、この手法にとっておそらく最適なクラスであり、正則性がこれより低いとスカラー曲率が定義不能になったり、収束推論が失敗する。