[論文レビュー] A positive mass theorem for low-regularity Riemannian metrics

James D. E. Grant, Nathalie Tassotti|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \leq 7$ の多様体、または任意の次元のスピン多様体における局所ソボレフ空間 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}$ 内の連続リーマン計量に対して、正質量定理を確立する。分布的スカラー曲率と滑らかさの近似技術を用いて、スカラー曲率が分布的意味で非負であるとき、ADM質量が非負であることを証明し、古典的結果を低正則性計量へと拡張する。

ABSTRACT

We show that the positive mass theorem holds for continuous Riemannian metrics that lie in the Sobolev space $W^{2, n/2}_{loc}$ for manifolds of dimension less than or equal to $7$ or spin-manifolds of any dimension. More generally, we give a (negative) lower bound on the ADM mass of metrics for which the scalar curvature fails to be non-negative, where the negative part has compact support and sufficiently small $L^{n/2}$ norm. We show that a Riemannian metric in $W^{2, p}_{loc}$ for some $p > \frac{n}{2}$ with non-negative scalar curvature in the distributional sense can be approximated locally uniformly by smooth metrics with non-negative scalar curvature. For continuous metrics in $W^{2, n/2}_{loc}$, there exist smooth approximating metrics with non-negative scalar curvature that converge in $L^p_{loc}$ for all $p < \infty$.

研究の動機と目的

• 低正則性リーマン計量、特に局所ソボレフ空間 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}$ 内の連続計量への正質量定理の拡張を図ること。
• スカラー曲率が古典的ではなく分布的意味で非負である場合に、ADM 質量が依然として非負のままであるかどうかを調査すること。
• このような低正則性計量に対して、非負スカラー曲率を保つ滑らかな近似技術を開発すること。
• 非スピン多様体における既存の剛性議論の限界を、低正則性計量の文脈で特定すること。
• 滑らかでない計量の文脈で、正質量定理が成立するための幾何学的・解析的構造を明確にすること。

提案手法

• 双対性による定義による分布的スカラー曲率の使用により、$W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}$ 内の計量に対して適切に定義されることを保証する。
• すべての $p < \infty$ に対して、元の計量 $\mathbf{g}$ に $L^p_{\mathrm{loc}}$ 収束する滑らかな近似計量 $\widehat{\mathbf{g}}_\varepsilon$ の構成。
• ソボレフ埋め込み定理およびその極値ケースの適用により、近似列の正則性と挙動を制御する。
• ADM 質量の下界を導くために、スカラー曲率の負の部分に対する重み付き $L^{n/2}$ ノルムの利用。
• $p > n/2$ に対して $W^{2,p}_{\mathrm{loc}}$ 内の計量は、非負スカラー曲率を持つ滑らかな計量により近似可能であるという事実の活用。
• スピン幾何学およびリッチフローに関する既知の結果を活用し、スピンと非スピンの場合の剛性の挙動を対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー曲率が分布的意味で非負である場合に、正質量定理を連続リーマン計量へと拡張できるか。
• RQ2 特に滑らかさが欠如する状況において、正質量定理が依然として成立する最適な正則性クラスは何か。
• RQ3 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}} \cap C^0$ 内の計量が、非負スカラー曲率を持つ滑らかな計量によりどの程度まで近似可能か。
• RQ4 標準的な剛性議論が低正則性設定における非スピン多様体でなぜ失敗するのか。剛性が成立するためにはどの程度の正則性が必要か。
• RQ5 低正則性設定において、スカラー曲率の負の部分の $L^{n/2}$ ノルムが ADM 質量にどのように制約を加えるか。

主な発見

• 局所ソボレフ空間 $W^{2,n/2}_{\mathrm{loc}}$ 内の連続リーマン計量の ADM 質量は、そのスカラー曲率が分布的意味で非負であれば非負である。
• スカラー曲率が分布的意味で非負である計量に対しては、すべての $p < \infty$ に対して $L^p_{\mathrm{loc}}$ に収束する滑らかな近似計量が存在する。
• スカラー曲率の負の部分がコンパクトに台を持つとき、ADM 質量はスカラー曲率の負の部分の $L^{n/2}$ ノルムに依存する負の量から下界で抑えられる。
• $C^0$ 位相では、非負スカラー曲率を保つ滑らかな近似が失敗する。これは原点で発散する調和関数を用いた反例によって示される。
• 非スピン多様体では、$L^{n/2}$ 空間におけるリッチテンソルおよびスカラー曲率の制御が不十分であるため、剛性結果がこの低正則性クラスで失敗する。
• スピン多様体では、質量がゼロのときスピン接続が平坦であるという事実を活用すれば、正質量定理の剛性部分が依然として成立する可能性があるが、現在の証明では滑らかさの仮定に依存している。