[論文レビュー] A positive mass theorem in three dimensional Cauchy-Riemann geometry

Jih-Hsin Cheng, Andrea Malchiodi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、漸近的に平坦な擬リーマン3次元多様体におけるADM質量に類似したp質量を導入し、Tanaka-Webster曲率が正で、CR Paneitz作用素が非負である条件の下でその正値性を証明する。主な結果として、p質量が非負であり、0の質量は標準的CR 3次元球面に一致することを示し、これによりCR Yamabe問題の最小エネルギー解が得られる。

ABSTRACT

We define an ADM-like mass, called p-mass, for an asymptotically flat pseudohermitian manifold. The p-mass for the blow-up of a compact pseudohermitian manifold (with no boundary) is identified with the first nontrivial coefficient in the expansion of the Green function for the CR Laplacian. We deduce an integral formula for the p-mass, and we reduce its positivity to a solution of Kohn's equation. We prove that the p-mass is non-negative for (blow-ups of) compact 3-manifolds of positive Tanaka-Webster class and with non-negative CR Paneitz operator. Under these assumptions, we also characterize the zero mass case as the standard three dimensional CR sphere. We then show the existence of (non-embeddable) CR 3-manifolds having nonpositive Paneitz operator or negative p-mass through a second variation formula. Finally, we apply our main result to find solutions of the CR Yamabe problem with minimal energy.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な擬リーマン3次元多様体におけるADM質量に類似したp質量不変量を定義すること。
• 正のTanaka-Websterクラスおよび非負のCR Paneitz作用素の仮定の下で、p質量の非負性を確立すること。
• 0のp質量の場合が標準的3次元CR球面に一致することを特徴づけること。
• 2次変分公式を用いて、非正のPaneitz作用素または負のp質量をもつ非埋め込み可能CR 3次元多様体の構成を示すこと。
• 正のp質量定理を応用し、最小エネルギーをもつCR Yamabe問題の解を求めること。

提案手法

• コンパクトな擬リーマン3次元多様体のブロー・アップにおけるCRラプラシアンのグリーン関数展開の最初の非自明な係数としてp質量を定義する。
• CRエインシュタインテンソルの発散構造とKohn-Knapp-Weissの公式を用いて、p質量の積分公式を導出する。
• p質量の正値性を、多様体上の特定の(1,1)形式についてKohnの方程式を解くことへ帰着する。
• 共形共変性を用いて、p質量をTanaka-Webster曲率とCR Paneitz作用素に関連付ける。
• 2次変分公式を応用し、非正のPaneitz作用素または負のp質量をもつ非埋め込み可能CR 3次元多様体の例を構成する。
• CR正規座標と漸近展開を用いて、無限遠における接触形式および接続形式の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Cauchy-Riemann幾何学において、ADM質量に類似した質量の概念を定義できるか？
• RQ2 漸近的に平坦な擬リーマン3次元多様体において、p質量が非負となる幾何的条件は何か？
• RQ3 p質量が0である場合、CR幾何学的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 非正のPaneitz作用素または負のp質量をもつ非埋め込み可能CR 3次元多様体を構成できるか？
• RQ5 正のp質量定理を用いて、最小エネルギーをもつCR Yamabe問題の解をどのように得られるか？

主な発見

• 正のTanaka-Websterクラスおよび非負のCR Paneitz作用素をもつコンパクトな3次元擬リーマン多様体のブロー・アップにおいて、p質量は非負である。
• 0のp質量となるのは、多様体が標準的3次元CR球面とCR同値である場合に限る。
• 2次変分公式を用いて、非正のPaneitz作用素または負のp質量をもつ非埋め込み可能CR 3次元多様体が存在することが示された。
• p質量は、コンパクトな擬リーマン3次元多様体のブロー・アップにおけるCRラプラシアンのグリーン関数展開の最初の非自明な係数として同定された。
• p質量の積分公式は、CRエインシュタインテンソルの発散構造とKohn-Knapp-Weissの公式から導出された。
• 正のp質量定理により、Yamabe商が標準的球面によって下から有界であることが保証され、これによりCR Yamabe問題の最小エネルギー解の構成が可能になった。