[論文レビュー] A positivity-preserving and convergent numerical scheme for the binary fluid-surfactant system

Yuzhe Qin, Cheng Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2021

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 61被引用数 26

ひとこと要約

本論文は、バイナリーフルード-界面活性剤相場場モデルに対して、時間一階の凸分割スキームを開発し、唯一性、正定性の保持、無条件エネルギー安定性、最適収束速度を証明し、離散系に対するニュートン反復と数値検証を行う。

ABSTRACT

In this paper, we develop a first order (in time) numerical scheme for the binary fluid surfactant phase field model. The free energy contains a double-well potential, a nonlinear coupling entropy and a Flory-Huggins potential. The resulting coupled system consists of two Cahn-Hilliard type equations. This system is solved numerically by finite difference spatial approximation, in combination with convex splitting temporal discretization. We prove the proposed scheme is unique solvable, positivity-preserving and unconditionally energy stable. In addition, an optimal rate convergence analysis is provided for the proposed numerical scheme, which will be the first such result for the binary fluid-surfactant system. Newton iteration is used to solve the discrete system. Some numerical experiments are performed to validate the accuracy and energy stability of the proposed scheme.

研究の動機と目的

• 界面活性剤を用いた二成分流体の界面ダイナミクスを、二成分流体-界面活性剤相場場フレームワークで動機づけ、モデル化する。
• 密度の正性を保ち、離散レベルでエネルギー安定性を保証する数値スキームを開発する。
• スキームの一意 solvabilityを証明し、最適収束率を得る。
• 完全離散系の解法としてニュートン反復に基づく solver を実装し、数値実験によって安定性と精度を検証する。

提案手法

• 凸-凹エネルギー分割 G = G_c - G_e を定式化し、凸分割の時間離散化を可能にする。
• 凸部を陰的に、凹部を陽的に扱う、一階の時間半離散スキームを用いる。
• 中心差分の空間離散を採用し、凸部と凹部に対応する離散エネルギー関数 E_c と E_e を定義する。
• φ と ρ およびそれらの化学ポテンシャル μ_φ と μ_ρ の離散方程式を導出し、一意解性とエネルギー安定性を保証する。
• Flory–Huggins ポテンシャルの対数項の特異性を活用して正性保持性を証明する。
• 各時間ステップで得られる非線形系をニュートン反復によって解き、数値実験を行って精度と安定性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸分割に基づく離散化は、二成分流体-界面活性剤系に対して一意解性を与えることができるか。
• RQ2 提案手法は、離散レベルで密度 ρ の正性を保持するか。
• RQ3 手法は離散エネルギーに関して無条件にエネルギー安定か。
• RQ4 本スキームの時間収束の最適速度は何で、どの条件下で達成されるか。
• RQ5 数値実験は理論的な正性、安定性、および収束特性を確認しているか。

主な発見

• 提案されたスキームは一意に解ける。
• スキームは密度変数 ρ の正性を保持する。
• スキームは無条件にエネルギー安定である（エネルギー安定性のための時間ステップ制限なし）。
• スキームの時間方向の最適収束率が確立されている。
• 離散非線形系を解くのにニュートン反復を用い、数値実験が精度とエネルギー安定性を検証する。