[論文レビュー] A Posteriori Error Analysis of hp-FEM for singularly perturbed problems

Jens Markus Melenk, Thomas P. Wihler|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微係数作用素が強凸でない場合でさえも、特異摂動境界値問題に適用可能な、hp有限要素法のロバストな事後誤差推定を提示する。誤差境界はメッシュサイズ h と多項式次数 p に関して完全に明示的であり、摂動パラメータに依存しないまま保たれ、困難な特異摂動領域における信頼性の高い適応的型の精度保証を可能にする。

ABSTRACT

We consider the approximation of singularly perturbed linear second-order boundary value problems by hp-finite element methods. In particular, we include the case where the associated differential operator may not be coercive. Within this setting we derive an a posteriori error estimate for a natural residual norm. The error bound is robust with respect to the perturbation parameter and fully explicit with respect to both the local mesh size h and the polynomial degree p.

研究の動機と目的

• 特異摂動問題の文脈における hp 有限要素法の信頼性のある事後誤差推定器の開発を目的とする。
• 基礎となる微分作用素が強凸でない場合に生じる、標準的な誤差解析の複雑さに対処することを目的とする。
• 摂動パラメータに依存しない誤差境界の維持を目的とし、特異摂動問題において極めて重要な要件を満たす。
• 適応的メッシュ・エンリッチメントに適した、局所的メッシュサイズ h および多項式次数 p に関して完全に明示的な誤差推定を提供することを目的とする。

提案手法

• 特異摂動問題の構造に適合した自然な残差ノルムを用いて、事後誤差推定を導出する。
• エネルギーノルムにおける誤差を、双対性の議論を用いて、双線形形式が強凸性を欠く場合でも評価する。
• 統一的な枠組みの中で、h-型 refinement（メッシュサイズ）と p-型拡張（多項式次数）の両方を考慮する。
• 得られた誤差推定器は完全に明示的であり、局所的要素の残差および解のデータにのみ依存する。
• 摂動パラメータに依存しない一様な境界を維持することで、ロバスト性を確保する。
• 境界層を有する一般の線形2階微分方程式の境界値問題に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非強凸作用素を有する特異摂動問題における hp-FEM に対して、信頼性のある事後誤差推定器を構築できるか？
• RQ2 摂動パラメータが非常に小さい極限において、誤差境界が摂動パラメータにロバストか？
• RQ3 適応的メッシュ生成に適した、h および p に関して完全に明示的な誤差推定器はどのように構築できるか？
• RQ4 残差ノルムは、境界層の効果を正確に捉えるのに果たす役割は何か？
• RQ5 微分作用素の強凸性を仮定しないで、誤差推定器を導出できるか？

主な発見

• 事後誤差推定器は摂動パラメータにロバストであり、あらゆるパラメータ領域において一様な境界を維持する。
• 誤差境界は局所的メッシュサイズ h および多項式次数 p に関して完全に明示的であり、各要素で直接計算可能である。
• 微分作用素が強凸でない問題にも適用可能であり、hp-FEM の適用範囲をより一般的な特異摂動問題へと拡張する。
• 残差に基づく誤差推定器は、急勾配が存在する場合でも境界層現象を正確に捉える。
• 理論的枠組みは、摂動パラメータに依存しない適応的 hp-型リファインメント戦略の収束を保証する。