[論文レビュー] A posteriori error estimates for mixed virtual element methods

Andrea Cangiani, Mauricio Munar|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、混合境界条件を伴う2階楕円型方程式に適用された混合仮想有限要素法（mixed VEM）に対して、残留型の事後誤差評価法を提示する。この評価法は完全に計算可能であり、一般の多角形メッシュに対して安定で、仮想有限要素法のフラックスおよび後処理フラックスの破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおける信頼性と有効性を保証する。これにより、効果的な適応的メッシュ・リファインメントが可能となる。

ABSTRACT

We present an a posteriori error analysis for the mixed virtual element method (mixed VEM) applied to second order elliptic equations in divergence form with mixed boundary conditions. The resulting error estimator is of residual-type. It only depends on quantities directly available from the VEM solution and applies on very general polygonal meshes. The proof of the upper bound relies on a global inf-sup condition, a suitable Helmholtz decomposition, and the local approximation properties of a Clément-type interpolant. In turn, standard inverse inequalities and localization techniques based on bubble functions are the main tools yielding the lower bound. Via the inclusion of a fully local postprocessing of the mixed VEM solution, we also show that the estimator provides a reliable and efficient control on the broken $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-norm error between the exact and the postprocessed flux. Numerical examples confirm the theoretical properties of our estimator, and show that it can be effectively used to drive an adaptive mesh refinement algorithm.

研究の動機と目的

• 2階楕円型問題に混合境界条件を伴う混合仮想有限要素法（mixed VEM）を適用した場合に、信頼性と有効性を兼ね備えた事後誤差評価法を開発すること。
• 正確な解と混合VEM解の間の誤差について、破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおいて上界と下界を確立すること。これには後処理フラックスを含む。
• 仮想有限要素法の解から得られる量にのみ依存する、完全に局所的かつ計算可能な誤差評価法を提供すること。これは、適応的メッシュリファインメントに適している。
• 後処理フラックス近似の最適収束率を証明すること。これにより、標準的なVEMフラックスで観察される劣化収束率を克服する。
• 数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証し、誤差評価法が適応的リファインメントを効果的に駆動することを示すこと。

提案手法

• 誤差評価法は残留型であり、仮想有限要素法の解から得られる計算可能な量のみを用いて構築されており、完全な局所的計算可能性を保証する。
• 上界は、グローバルなインフラ・スパ条件、誤差のヘルムホルツ分解、およびクレメンツ型補間子の近似性質を用いて導出される。
• 下界は、逆不等式およびバブル関数に基づく局所化技術を用いて確立される。
• 仮想有限要素法のフラックスに対して後処理技術を適用し、破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおいて最適収束率を達成する新たな計算可能な近似を構築する。
• 解析は一般の多角形メッシュ（ヘンジング・ノードを含むものも）に適用可能であり、仮想有限要素法フレームワークの柔軟性を活用している。
• 誤差評価法に基づく適応的メッシュリファインメントアルゴリズムを提案し、特異的摂動問題における数値的妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合仮想有限要素法に完全に計算可能であり、信頼性と有効性を兼ね備えた事後誤差評価法を構築できるか？
• RQ2 誤差評価法が、後処理フラックスの破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおける真の誤差と等価であるか？
• RQ3 提案された評価法は、一般の多角形メッシュ上でも適応的メッシュリファインメントを効果的に駆動できるか？
• RQ4 後処理フラックスの収束挙動はいかなるものか？破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおいて最適収束率を達成するか？
• RQ5 特異性を示す問題（例：L字型領域）において、理論的誤差境界は実際の計算でどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 事後誤差評価法は、破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおける誤差について、仮想不一致項を除き、上界と下界を両方提供する。
• 後処理フラックスは破綻した $\mathrm{H}(\mathrm{div})$-ノルムにおいて最適収束率を達成するが、標準的なVEMフラックスは劣化収束率にとどまる。
• 評価法の効果的インデックスは、適応的リファインメントの各段階で1に近く（例：0.87～0.95）維持され、信頼性の高い誤差制御を示している。
• 数値実験により、評価法が特異点（例：L字型領域の角）の周囲でメッシュリファインメントを効果的に駆動することが確認された。
• $k=2$（高次VEM）の適応戦略は、低次の場合と比較してより抑制的で、最適収束挙動を示す。
• 歪んだ多角形メッシュに対しても評価法は有効であり、実用的な適応的設定におけるロバスト性を確認した。