[論文レビュー] A posteriori error estimates for parabolic problems via elliptic reconstruction and duality

Omar Lakkis, Charalambos Makridakis|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2007

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、楕円的再構成と双対性を用いて、線形放物型問題における完全離散後退オイラースキームの事後誤差推定を提示する。残差に基づく楕円的推定と時間離散化誤差制御を組み合わせることで、L∞(0, T; L²(Ω))ノルムにおける完全に実用的で最適順序の誤差推定を導出しており、メッシュの変更を考慮し、柔軟な応用を可能にする。

ABSTRACT

Abstract. We use the elliptic reconstruction technique in combination with a duality approach to prove a posteriori error estimates for fully discrete backward Euler scheme for linear parabolic equations. As an application, we combine our result with the residual based estimators from the a posteriori estimation for elliptic problems to derive space-error estimators and thus a fully practical version of the estimators bounding the error in the L∞(0, T;L2(Ω)) norm. These estimators, which are of optimal order, extend those introduced by Eriksson and Johnson [EJ91] by taking into account the error induced by the mesh changes and allowing for a more flexible use of the elliptic estimators. results using residual estimators is provided. 1.

研究の動機と目的

• 線形放物型方程式における完全離散後退オイラースキームの信頼性の高い事後誤差推定を構築すること。
• メッシュの変更に起因する誤差を組み込むことによって、先行研究の推定器の限界を克服すること。
• ErikssonとJohnson [EJ91] の研究を拡張し、楕円的誤差推定のより柔軟な使用を可能にすること。
• L∞(0, T; L²(Ω))ノルムにおいて最適順序の誤差境界を、実用的で計算可能な枠組みを用いて達成すること。

提案手法

• 離散解を連続的な楕円的設定に持ち上げるための楕円的再構成技術を用いる。
• 双対問題の誤差をバインドし、それらを元の問題の誤差に関連付けるために、双対性に基づく解析を適用する。
• 楕円的事後理論からの残差に基づく推定と、時間離散化誤差の寄与を組み合わせる。
• 空間誤差推定を、空間的および時間的離散化誤差の両方を考慮して導出する。
• 再構成された楕円問題を用いて、空間誤差成分を独立して分離し推定する。
• L∞(0, T; L²(Ω))ノルムにおいて、計算可能で最適順序の完全に実用的な推定器を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全離散後退オイラースキームを用いた放物型問題における、最適順序の事後誤差推定をどのように構築できるか。
• RQ2 楕円的再構成技術は、時間依存問題における誤差推定の精度と柔軟性をどのように向上させるか。
• RQ3 時間発展に伴うメッシュの変更を、事後誤差推定にどのように組み込むことができるか。
• RQ4 残差に基づく楕円的推定と時間離散化誤差項を効果的に組み合わせることで、完全に実用的な誤差境界を得られるか。
• RQ5 得られた誤差推定の最適性の理論的根拠は何か。

主な発見

• 提案手法により、L∞(0, T; L²(Ω))ノルムにおいて最適順序の事後誤差推定が得られる。
• 推定は完全に実用的であり、離散解と既知のデータのみを用いて計算可能である。
• 時間発展に伴うメッシュ変更に起因する誤差を、本手法は効果的に取り入れている。
• 楕円的再構成の使用により、既存の楕円的誤差推定を放物型設定に柔軟に統合できる。
• 双対性に基づく解析により、双対問題の解と関連付けることで、きめ細かい誤差境界が可能になる。
• 時間離散化とメッシュの適応的変更の影響を組み込むことで、ErikssonとJohnson [EJ91] の結果を拡張した枠組みが構築された。