[論文レビュー] A posteriori estimates for Euler and Navier-Stokes equations

Carlo Morosi, M. Pernici+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トーラス上での非圧縮性オイラー方程式およびナビエ＝ストークス方程式に対して、ソボレフ空間と記号計算を用いた厳密な事後誤差推定フレームワークを提示する。3次元のBehr-Neĉas-Wu初期データを用いた52次トレーリング多項式近似にこの手法を適用したところ、解の存在時間に対する下界 $ T \geq 0.242 $ が確立され、正確な解と近似解の間の $ H^3 $-ノルム誤差推定が明示された。

ABSTRACT

The first two sections of this work review the framework of [6] for approximate solutions of the incompressible Euler or Navier-Stokes (NS) equations on a torus T^d, in a Sobolev setting. This approach starts from an approximate solution u_a of the Euler/NS Cauchy problem and, analyzing it a posteriori, produces estimates on the interval of existence of the exact solution u and on the distance between u and u_a. The next two sections present an application to the Euler Cauchy problem, where u_a is a Taylor polynomial in the time variable t; a special attention is devoted to the case d=3, with an initial datum for which Behr, Necas and Wu have conjectured a finite time blowup [1]. These sections combine the general approach of [6] with the computer algebra methods developed in [9]; choosing the Behr-Necas-Wu datum, and using for u_a a Taylor polynomial of order 52, a rigorous lower bound is derived on the interval of existence of the exact solution u, and an estimate is obtained for the H^3 Sobolev distance between u(t) and u_a(t).

研究の動機と目的

• 非圧縮性オイラー方程式およびナビエ＝ストークス方程式の正確な解の存在時間と誤差距離を推定する、厳密な事後フレームワークの構築を目的とする。
• 有限時間内 blows up を示唆する特定の初期データを有するオイラー初期値問題に、このフレームワークを適用することを目的とする。
• 記号計算とテイラー多項式近似を活用し、解の正則性および存在区間に関する計算可能で厳密な境界を導出することを目的とする。
• 3次元におけるBehr-Neĉas-Wu初期データに対するオイラー解の存在時間の下界を、先行研究のものよりも改善することを目的とする。
• 正確な解とその52次テイラー多項式近似との間の定量的 $ H^3 $-ノルム誤差推定を提供することを目的とする。

提案手法

• トーラス $ \mathbb{T}^d $ 上のソボレフ空間枠組みを用い、$ \mathbb{H}^n_{\Sigma 0} $ 内の発散なしで平均値がゼロのベクトル場に注目する。
• オイラー／NS方程式における非線形項を表す双線形写像 $ \mathscr{P}(v,w) = -\mathfrak{L}(v{\scriptstyle{\bullet}}\partial w) $ を適用する。
• 計算可能な定数 $ G_3 = 0.438 $, $ K_3 = 0.323 $ を用いたカトウの不等式 (1.5) と基本的不等式 (1.4) を用いる（$ d=3 $ の場合）。
• 誤差推定子 $ \mathcal{D}_3(t), \mathcal{D}_4(t) $ および微分誤差推定子 $ \epsilon_3(t) $ を含む1次元常微分方程式を解くことで、主要関数 $ \mathscr{R}_3(t) $ の制御初期値問題 (4.4) を構築する。
• コンピュータ代数を用いて、52次多項式 $ u^{52}(t) $ と関連する誤差推定子を記号的に計算する。
• 制御常微分方程式 (4.4) を数値的に解き、$ \mathscr{R}_3(t) $ の最大存在時間 $ T_{\tt{c}} $ を決定する。この $ T_{\tt{c}} $ は真の解の存在区間を上から制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー方程式およびナビエ＝ストークス方程式に対して、ソボレフ空間における厳密な事後誤差推定フレームワークを構築することは可能か？
• RQ2 Behr-Neĉas-Wu初期データを有する3次元オイラー方程式の正確な解が正則性を保つ最大時間区間は何か？
• RQ3 52次テイラー多項式近似が、時間経過とともに真の解を $ H^3 $-ノルムでどの程度正確に近似するか？
• RQ4 記号計算と事後解析を統合することで、解の存在時間に対する鋭い計算可能な下界を導出できるか？
• RQ5 解が潜在的な blows up に近づくに従い、近似解と正確な解との間の誤差の定量的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 3次元オイラー初期値問題における最大解 $ u $ は、$ T \geq 0.242 $ を満たす区間 $ [0,T) $ で存在する。これは、先行研究の下界を著しく改善している。
• 正確な解 $ u(t) $ と52次テイラー多項式近似 $ u^{52}(t) $ の間の $ H^3 $-ノルム距離は、すべての $ t \in [0, 0.242) $ に対して $ \mathscr{R}_3(t) $ によって上から抑えられる。
• 区間 $ t \in [0, 0.20] $ において、主要関数 $ \mathscr{R}_3(t) $ は極めて小さく（$ 2 \times 10^{-6} $ 未満）保たれ、近似の高精度が大部分の区間で成立していることを示している。
• $ t \to 0.242^{-} $ に近づくと、関数 $ \mathscr{R}_3(t) $ は急激に発散する。これは、$ T_{\tt{c}} = 0.242 $ が制御問題が有効である最大時間であることを確認している。
• $ t \leq 0.10 $ の間、微分誤差推定子 $ \epsilon_3(t) $ は $ 10^{-20} $ 未満を維持しており、初期段階の近似解における残余誤差が無視できるほど小さいことを示している。
• $ k \in \mathbb{Z}^3 \setminus \{0\} $ 全てに対して $ |u_k(t) - u^{52}_k(t)| \leq \mathscr{R}_3(t)/|k|^3 $ が成り立つ。これは、フーリエモードごとの誤差制御を提供する。