[論文レビュー] "A Posteriori" Limited High Order and Robust Residual Distribution Schemes for Transient Simulations of Fluid Flows in Gas Dynamics

Paola Bacigaluppi, Rémi Abgrall+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一時的ガス力学的シミュレーションのための高次、陽的な残差分布スキームと後験的リミッターを提案する。MOODを用いて不適切なセルを検出することで、滑らかな領域では高次精度を維持し、衝撃波を越えて安定で非振動的な挙動を実現する。局所的により散乱性の高いスキームに切り替えることで、1次元および2次元の構造的・非構造的メッシュにおいて最適な次数の精度と正値保存性を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel approximation strategy for time-dependent hyperbolic systems of conservation laws for the Euler system of gas dynamics that aims to represent the dynamics of strong interacting discontinuities. The goal of our method is to allow an approximation with a high-order of accuracy in smooth regions of the flow, while ensuring robustness and a non-oscillatory behaviour in the regions of steep gradients, in particular across shocks. Following the Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) (Clain et al., Journal of Computational Physics 2011; Diot et al., Computer & Fluids 2012) approach, a candidate solution is computed at a next time level via a high-order accurate explicit scheme (Abgrall, Journal of Scientific Computing 2017; Abgrall et al., Computers & Mathematics with Applications 2018). A so-called detector determines if the candidate solution reveals any spurious oscillations or numerical issue and, if so, only the troubled cells are locally recomputed via a more dissipative scheme. This allows to design a family of "a posteriori" limited, robust and positivity preserving, as well as high accurate, non-oscillatory and effective scheme. Among the detecting criteria of the novel MOOD strategy, two different approaches from literature, based on the work of Clain et al. (Journal of Computational Physics 2011), Diot et al. (Computer & Fluids 2012) and of Vilar (Journal of Computational Physics 2019), are investigated. Numerical examples in 1D and 2D, on structured and unstructured meshes, are proposed to assess the effective order of accuracy for smooth flows, the non-oscillatory behaviour on shocked flows, the robustness and positivity preservation on more extreme flows.

研究の動機と目的

• 滑らかな領域での精度を維持しながら、強い不連続性を伴う領域でも強靭性を確保する高次、陽的な残差分布スキームの開発。
• 非定常圧縮流における双曲型保存則における精度と強靭性のトレードオフを解消すること。
• 強力な衝撃波や不連続性の重なりといった極端な流れ状況において、正値保存性と非振動的挙動を保証すること。
• 局所的な後験的リミッターにより、再マップが必要なセルの数を制限することで計算コストを最小化すること。
• ショックチューブ、ステップ付きMach 3チャネル、ダブルマッチリフレクションといったベンチマーク問題での手法の検証。

提案手法

• 連続ガレルキン有限要素法に基づく高次陽的残差分布スキームを採用し、形状関数にベルンシュタイン多項式を用いる。
• 大規模な線形方程式系を解かずに済むための、遅れ補正に類似した時間積分法を適用することで、対角質量行列を有する陽的時間積分を可能にする。
• 時間進捗後に生じる数値的問題を検出するために、多次元最適次数検出（MOOD）戦略を採用する。
• 文献[15,17]に基づく基準と、文献[35]に基づく基準の2つを用いて、不適切な振動や物理的制約（例：正値性）の違反を有するセルを特定する。
• 不適切なセルのみを、より散乱性の高いスキームで再計算することで、滑らかな領域での高次精度を維持する。
• コンactステンシルと対角質量行列を維持することで、並列処理と低メモリ使用を実現し、計算効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次残差分布スキームは、滑らかな流れでは最適な次数の精度を達成できるか。一方で、強い衝撃波を越えて非振動的であるか。
• RQ2 後験的MOODリミッターは、滑らかな領域での精度を損なわせることなく、数値的不安定性を効果的に検出し修正できるか。
• RQ3 異なる検出戦略（例：[15,17] と [35]）が、解の品質と計算コストに与える影響は何か。
• RQ4 ダブルマッチリフレクションのような極端な流れ配置において、本手法は正値保存性と強靭性をどの程度維持できるか。
• RQ5 通常、何パーセントのセルが不適切なセルとして特定され、全体の計算オーバーヘッドにどの程度影響を与えるか。

主な発見

• 等エントロピー渦のベンチマークにより、滑らかな流れにおいて理論的期待と一致する収束率が得られ、最適な次数の精度が達成されたことが確認された。
• ダブルマッチリフレクションおよびフロントフェーシングステップ問題において、後験的MOODリミッターが衝撃波近傍の振動を効果的に抑制し、非振動的解を生成した。
• 文献[35]に基づく検出戦略は、文献[15,17]に基づく戦略よりも、複雑な衝撃構造をより高精度に解明できた。
• すべてのテストケースにおいて、不適切なセルとして特定されるセルの割合は非常に小さく、リミッターによる計算オーバーヘッドが低いことが示された。
• すべてのテストケース、特に極端な流れにおいても密度および圧力の正値保存性が維持され、物理的整合性が保証された。
• 本手法は構造的・非構造的メッシュの両方で強靭であり、1次元および2次元のシミュレーションにおいて一貫した性能を示した。