[論文レビュー] A posteriori subcell finite volume limiter for general PNPM schemes: applications from gasdynamics to relativistic magnetohydrodynamics

Gaburro, Elena, Elena Gaburro|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 131被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、一般の$P_NP_M$スキームに対して、不連続な解を扱える高次精度および安定性を実現する、新しい事後的サブセル有限体積リミッターを提案する。リミッターは、不安定なセルでのみ作動し、高解像度を実現するための$2N+1$サブセルグリッドを用い、計算効率を維持する。本手法により、$M>N>0$を満たす$P_NP_M$スキームを、ガス力学から相対論的MHDに至るまで、挑戦的な問題にまで拡張でき、最適な性能を発揮する。

ABSTRACT

In this work, we consider the general family of the so called ADER PNPM schemes for the numerical solution of hyperbolic partial differential equations with \ extit{arbitrary} high order of accuracy in space and time. The family of one-step PNPM schemes was introduced in [Dumbser et al., JCP, 2008] and represents a unified framework for classical high order Finite Volume (FV) schemes (N=0), the usual Discontinuous Galerkin (DG) methods (N=M), as well as a new class of intermediate hybrid schemes for which a reconstruction operator of degree M is applied over piecewise polynomial data of degree N with M>N. In all cases with M >= N > 0 the PNPM schemes are linear in the sense of Godunov, thus when considering phenomena characterized by discontinuities, spurious oscillations may appear and even destroy the simulation. Therefore, in this paper we present a new simple, robust and accurate a posteriori subcell finite volume limiting strategy that is valid for the entire class of PNPM schemes. The subcell FV limiter is activated only where it is needed, i.e. in the neighborhood of shocks or other discontinuities, and is able to maintain the resolution of the underlying high order PNPM schemes, due to the use of a rather fine subgrid of 2N+1 subcells per space dimension. The paper contains a wide set of test cases for different hyperbolic PDE systems, solved on adaptive Cartesian meshes (AMR) that show the capabilities of the proposed method both on smooth and discontinuous problems, as well as the broad range of its applicability. The tests range from compressible gasdynamics over classical MHD to relativistic magnetohydrodynamics.

研究の動機と目的

• 中間的$P_NP_M$スキーム（$M>N>0$）に対する、ロバストなリミッティング戦略の不足に起因する、ガドゥノフ意味での線形性と、不連続付近での振動の発生を解消するため。
• 高次精度と計算効率を保ちつつ、不連続な流れ領域でも安定性を確保できるリミッティング手法の開発。
• 適応的カルテジアンメッシュ上での、複雑な双曲型系（相対論的磁気流体力学を含む）への$P_NP_M$スキームの適用範囲の拡張。
• 提案されたリミッターが、純粋なDGスキーム（$M=N$）と比較して、精度と計算コストの両面で優れた性能を発揮することの実証。

提案手法

• 事後的検出機構により、高次$P_NP_M$更新後に振動が生じる不安定なセルを同定する。
• 不安定なセルにのみ、空間各方向に$2N+1$サブセルグリッドを用いたサブセル有限体積再構成を適用し、解像度を向上させる。
• サブグリッド上で強安定性保持（SSP）TVDまたはWENO有限体積スキームを用いて物理的境界を強制し、振動を防止する。
• リミッターは局所的にのみ作動し、滑らかな領域では元の高次スキームを維持することで、計算オーバーヘッドを最小限に抑える。
• 1ステップADERS時間積分フレームワークに統合し、空間時間ガラーキン予測子を用いることで、空間的・時間的任意の高次精度を達成する。
• 適応的カルテジアンメッシュ（AMR）上でも検証され、細分化比$\mathfrak{r}=3$および最大$\ell_{\max}=2$レベルまで対応。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次精度、局所的、かつ計算効率の良いリミッティング戦略を、$M>N>0$を満たす$P_NP_M$スキームに開発可能か？
• RQ2 事後的サブセルFVリミッターは、衝撃支配流れにおいて、高解像度能力を維持するとともに、不適切な振動を防止できるか？
• RQ3 $P_NP_M$スキーム（$M>N>0$）の性能は、純粋なDGスキーム（$M=N$）と比較して、精度と計算コストの面で優れているか？
• RQ4 提案されたリミッターは、相対論的MHDを含む多様な双曲型系に効果的に適用可能か？
• RQ5 動的細分化を伴う適応的カルテジアンメッシュ上でも、本手法はスケーラブルかつ効率的か？

主な発見

• 事後的サブセルFVリミッターは、ガス力学、古典的MHD、相対論的MHDを含む、すべてのテスト系において、$P_NP_M$スキーム（$M>N>0$）の安定化に成功した。
• $P_3P_5$スキームは、$P_5P_5$DGスキームと同等の解像度を達成したが、同じメッシュ上では2.62倍速く、顕著な計算効率の向上を示した。
• オルツァグ＝タンゴ渦のテストでは、粗いメッシュ上でもリミッターが高解像度を維持し、目立つ振動がなく、衝撃波の捕捉も正確であった。
• 相対論的MHDテストでは、平均で1.5%のセルでのみリミッターが作動しており、その局所的かつ効率的な性質が裏付けられた。
• 滑らかな領域では名目上の精度（$M+1$）を保持し、同時に不連続付近での振動を効果的に抑制した。
• 本手法は、$M>N>0$を満たす中間的ハイブリッドスキームを含む、$P_NP_M$全般に対する、ロバストで高次精度かつ効率的なリミッティング戦略を提供する初の手法である。