[論文レビュー] A practical heuristic for finding graph minors

Jun Liang Cai, William G. Macready+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 233

ひとこと要約

本稿では、数百頂点のスパースグラフに対して実用的なヒューリスティックなアルゴリズムを提示し、マルチソースA*探索とダイクストラベースの初期化を活用して、D-Waveのチメラハードウェアグラフに論理的問題グラフを効率的に埋め込む。この手法は、実世界の最適化マッピングにおいて高い成功率を達成しており、大規模なインスタンスに対してもスケーラブルであり、失敗時でさえも有用な部分的な分解を提供する。

ABSTRACT

We present a heuristic algorithm for finding a graph $H$ as a minor of a graph $G$ that is practical for sparse $G$ and $H$ with hundreds of vertices. We also explain the practical importance of finding graph minors in mapping quadratic pseudo-boolean optimization problems onto an adiabatic quantum annealer.

研究の動機と目的

• ホストグラフGとターゲットグラフHが入力として与えられる状況において、特に大規模でスパースなグラフに対して、グラフマイナーを効率的に見つける実用的なヒューリスティックを開発すること。
• 量子アニーリングにおけるNP困難なマイナー埋め込み問題に対し、理論的アルゴリズムの禁断の定数を回避するスケーラブルで正確でない解決策を提供すること。
• 200頂点のD-Waveのアディアバティック量子アニーリングハードウェアに、二次的プゼューボール最適化問題を効果的にマッピングするため、最大500頂点と200頂点のグラフに対してマイナー埋め込みを可能にすること。
• 完全なマイナー埋め込みに失敗した場合でも有用であるように設計されたアルゴリズムで、各論理的頂点がG内の連結部分グラフにマッピングされるG分解を提供すること。

提案手法

• ホストグラフGにおける頂点モデルの配置探索をガイドするため、ヒューリスティック距離を用いたマルチソースA*探索アルゴリズムを用いる。
• 初期の頂点モデル配置の基盤としてダイクストラのアルゴリズムを活用し、その後A*を用いて重なりの最小化を改善する。
• 未到達のソースまでの最小推定距離を維持・更新するための優先度キューを実装し、効率的なノード選択を可能にする。
• マイナー埋め込みに失敗した場合のフォールバック構造として、G分解を定義する。ここで各論理的頂点はG内の連結部分グラフにマッピングされる。
• 成功率の向上を図るため、インスタンスごとに複数回局所的なアルゴリズムを実行する。特に難易度の高い問題に対して有効である。
• エッジ重み付き最短経路とヒューリスティック関数を用いて距離を推定し、最大経路長を最小化することで、頂点モデルの重なりを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GとHが入力として与えられる大規模でスパースなグラフにおいて、ヒューリスティックなアルゴリズムが高成功率でグラフマイナーを発見できるか。
• RQ2 マイナー埋め込みタスクにおいて、マルチソースA*の性能はダイクストラベースの初期化と比較して、成功率と実行時間の点でどのように異なるか。
• RQ3 ヒューリスティックの局所的繰り返し実行を何回行うかが、難易度の高い問題インスタンスにおける成功率に与える影響はどの程度か。
• RQ4 完全なマイナー埋め込みに失敗した場合でも、部分的な解決（G分解）が、後続のスローラーによって有用に活用できるか。

主な発見

• ヒューリスティックなアルゴリズムは、Gに最大500頂点、Hに最大200頂点のグラフを成功裏に埋め込むことができ、理論的限界を超えた実用的応用を示した。
• マルチソースA*アプローチは、ダイクストラベースの初期化よりも高速であるが、最悪ケースの重なりに注目するため、わずかに低い成功率を示した。
• インスタンスごとに局所的アルゴリズムを5回実行することで、グローバルバージョンと同等の実行時間で、難易度の高い問題における成功率が向上した。
• 平均して、マイナー埋め込みの数はHのサイズに伴い指数関数的に増加する傾向にあり、大規模な解空間におけるヒューリスティック探索の妥当性を裏付けた。
• 失敗時でさえも、G分解が生成され、これはツリー分解の一般化としての有用な構造であり、イジングモデルスローラーによって活用可能である可能性を示した。
• 非構成的かつ確率的であるものの、ヒューリスティックな性質と効率的なデータ構造のおかげで、実用的には既知の正確な手法を上回った。