[論文レビュー] A Practical Method of Constructing Quantum Combinational Logic Circuits

Jae‐Seung Lee, Yongwook Chung+2 more|ArXiv.org|Nov 12, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、量子回路の制約（キュービット接続性など）に応じた実装を可能にする、量子可逆論理向けに適合されたカルノーマップを用いた、効率的な量子コンビネーショナル論理回路を構築する実用的手法を提示する。ミナーム分解と最適化されたゲート乗算を活用することで、$f$-controlled-NOTおよび$f$-controlled-phase-shiftゲートの量子回路を最小化する。

ABSTRACT

We describe a practical method of constructing quantum combinational logic circuits with basic quantum logic gates such as NOT and general $n$-bit Toffoli gates. This method is useful to find the quantum circuits for evaluating logic functions in the form most appropriate for implementation on a given quantum computer. The rules to get the most efficient circuit are utilized best with the aid of a Karnaugh map. It is explained which rules of using a Karnaugh map are changed due to the difference between the quantum and classical logic circuits.

研究の動機と目的

• 任意の二値関数に対して、最小の量子コンビネーショナル論理回路を体系的かつ実用的に構築するための手法を開発すること。
• 特にカルノーマップを用いた古典的論理最小化技術を、量子可逆回路に適応させることで、量子の可逆性およびゲートの可換性を考慮した手法を開発すること。
• $f$-controlled-NOTおよび$f$-controlled-phase-shift回路における基本量子ゲート（例：Toffoli、C-NOT）の数を最小化し、回路の深さを短縮し、実験的実装可能性を向上させること。
• キュービット接続性が限られているシステムにおいても、不要な2キュービット相互作用を回避する回路を生成することで、ハードウェアに配慮した量子回路設計を可能にすること。

提案手法

• 論理関数をミナームに分解し、各ミナームを、入力がそのミナームと一致する場合にのみターゲットキュービットを条件付きで反転させる、NOTゲートで挟まれた一般化されたToffoliゲートで実装する。
• 各ミナームゲートが互いに異なる入力状態に作用するため、それらの可換性を活用して、量子ゲート乗算を適用し、ミナームゲートを組み合わせる。
• 量子論理に適応したカルノーマップでは、制御条件が互いに排他的（disjoint）である場合にゲートが可換であることに着目し、隣接性ルールを再定義する。
• 古典的最小化と同様に、Kマップ上の隣接する1のグループ化により、簡略化された量子回路を導出するが、量子実装に特化した明示的なゲートレベル構築ルールを設ける。
• $f$-controlled-phase-shiftゲートの場合は、$f$-C-NOT回路を基に、ターゲット制御ゲート（$L$）を制御レジスタに作用する位相反転ゲート（$R$）に置き換えることで、位相シフト版に変換する。
• 最終的な回路は、$L^{x}_{y}$ゲートを$R^{x}$ゲートに置き換えることで構築され、論理構造は同じだが、ビット反転から位相反転に変更される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルノーマップのような古典的論理最小化技術を、量子可逆回路にどのように適応させ、回路を最小化できるか。
• RQ2 古典的コンビネーショナル論理回路と比較して、量子コンビネーショナル論理回路におけるゲートの可換性および隣接性ルールの主な相違点は何か。
• RQ3 ミナームベースの分解と量子ゲート乗算を組み合わせることで、一般の合成手法よりも効率的な$f$-controlled-NOTおよび$f$-controlled-phase-shift回路が得られるか。
• RQ4 得られた量子回路を、キュービット接続性が限られているなどの特定の量子ハードウェア制約に最適化するにはどうすればよいか。

主な発見

• 適応されたカルノーマップにより、隣接するミナームの視覚的特定が可能となり、$f$-C-NOT回路における量子ゲート数の効率的削減が実現される。
• 本手法により、$f_b(x)$の最小量子回路が$R^{x_2} R^{x_1 x_3}$として得られ、キュービット$x_1$と$x_3$間の相互作用を回避し、このような制限があるハードウェアにおいて最適である。
• $f$-controlled-phase-shiftゲートは、$f$-C-NOT回路から、ターゲット制御ゲート（$L$）を制御レジスタに作用する位相反転ゲート（$R$）に置き換えることで、直接的に導出可能である。
• $R^{x_2} R^{x_1 x_3}$を用いた$f_b(x)$の結果回路はスワップゲートを一切必要とせず、追加の2キュービット相互作用を要する他の表現よりも効率的である。
• 本手法により、最終回路は論理的に最小であるだけでなく、より少ない基本ゲートで実現可能であり、近位の量子デバイスにおけるデ coherent 確率の低減にも寄与する。