[論文レビュー] A preconditioner based on the shift-splitting method for generalized saddle point problems

Davod Khojasteh Salkuyeh, Mohsen Masoudi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非対称正定値(1,1)ブロックおよび対称半正定値(2,2)ブロックを有する一般化されたソルダーポイント問題に対するシフトスプリットリング予めんづけを提案する。この手法は、無条件収束性を持つ反復スキームに基づくものであり、ナビエ＝ストークス問題における数値実験により、非予めんづけGMRESに比べてGMRES反復回数とCPU時間を顕著に削減することが示された。

ABSTRACT

In this paper, we propose a preconditioner based on the shift-splitting method for generalized saddle point problems with nonsymmetric positive definite (1,1)-block and symmetric positive semidefinite $(2,2)$-block. The proposed preconditioner is obtained from an basic iterative method which is unconditionally convergent. We also present a relaxed version of the proposed method. Some numerical experiments are presented to show the effectiveness of the method.

研究の動機と目的

• 有限要素離散化によって生じる大型かつスパースな一般化されたソルダーポイント問題に対する効果的な予めんづけの開発。
• シフトスプリットリング法を、(1,1)ブロックが対称である場合に限らない、非対称正定値の場合にも拡張すること。
• 提案された反復法の無条件収束を保証し、GMRESなどのKrylov部分空間ソルバーに適した安定した予めんづけを導出すること。
• GMRES(30)を用いて、ベンチマークとしてのナビエ＝ストークス問題における予めんづけの性能を評価すること。

提案手法

• 本手法は、シフトパラメータαおよびβに基づいて、ソルダーポイント系をMおよびN行列に行列分解する。
• 反復行列Γα,β = M⁻¹Nの固有値半径がすべてのα, β > 0に対して1未満であることが証明され、無条件収束が保証される。
• 予めんづけP_MGSSは、Mα,β = ½[(αI + A) Bᵀ; -B (βI + C)]として定義され、対称正定値であり、GMRESに適している。
• 緩和版であるP_RMGSSは(1,1)ブロックのシフトを省略し、実装を簡略化しながらも効果を維持する。
• 内部系は、残差低減耐性10⁻²および最大40反復の制限を満たすGMRES(10)で解かれる。
• 本手法は、定常状態ナビエ＝ストークス方程式のQ1-P0有限要素離散化にIFISSパッケージを用いてテストされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称正定値(1,1)ブロックを有する一般化されたソルダーポイント問題に対して、シフトスプリットリング法を拡張できるか？
• RQ2 提案された予めんづけは、このような問題に対して無条件収束を保証するか？
• RQ3 ナビエ＝ストークス問題において、予めんづけはGMRES反復回数およびCPU時間をどれほど削減できるか？
• RQ4 パラメータα = 0.01およびβ = 0.001の選択が収束行動に与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたMGSS法は、すべてのα, β > 0に対して無条件収束性を示し、反復行列の固有値半径が1未満である。
• 64×64グリッドでは、予めんづけ付きGMRES(30)は28反復、21.48秒で完了したが、非予めんづけでは3554反復、110.1秒を要した。
• 32×32グリッドでは、非予めんづけの608反復を12反復に削減し、CPU時間も4.95秒から3.58秒に短縮した。
• 緩和版予めんづけRMGSSも優れた性能を示し、16×16グリッドでは8反復、32×32グリッドでは12反復にまで削減した。
• すべてのグリッドサイズにおいて、非予めんづけGMRESに比べて予めんづけは顕著に優れており、特に細かいグリッドにおいて顕著である。
• 理論的解析により、Aが非対称正定値であっても、この手法が収束性を保つことが確認され、従来の対称Aに限る結果を拡張した。