[論文レビュー] A Prediction-Correction Algorithm for Real-Time Model Predictive Control

Santiago Paternain, Manfred Morari+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Advanced Control Systems Optimization参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、陰関数定理に基づく予測ステップと、数回のニュートン型補正ステップを用いることで、時間変動する最適解を追跡することにより、計算複雑性を低減するリアルタイムModel Predictive Control (MPC)のための予測補正アルゴリズムを提案する。この手法は二次収束性と安定性を保証し、高速なダイナミクスを示す系や計算リソースが限られた環境に対してもMPCの適用を可能にする。理論的保証と非線形系における数値的検証が行われている。

ABSTRACT

In this work we adapt a prediction-correction algorithm for continuous time-varying convex optimization problems to solve dynamic programs arising from Model Predictive Control. In particular, the prediction step tracks the evolution of the optimal solution of the problem which depends on the current state of the system. The cost of said step is that of inverting one Hessian and it guarantees, under some conditions, that the iterate remains in the quadratic convergence region of the optimization problem at the next time step. These conditions imply (i) that the variation of the state in a control interval cannot be too large and that (ii) the solution computed in the previous time step needs to be sufficiently accurate. The latter can be guaranteed by running classic Newton iterations, which we term correction steps. Since this method exhibits quadratic convergence the number of iterations to achieve a desired accuracy $η$ is of order $\log_2\log_2 1/η$, where the cost of each iteration is approximately that of inverting a Hessian. This grants the prediction-correction control law low computational complexity. In addition, the solution achieved by the algorithm is such that the closed loop system remains stable, which allows extending the applicability of Model Predictive Control to systems with faster dynamics and less computational power. Numerical examples where we consider nonlinear systems support the theoretical conclusions.

研究の動機と目的

• 高速なダイナミクスを示す系や処理能力が限られた環境において、リアルタイムMPCにおける計算ボトル neck を解消すること。
• 最適解の時間的変化を活用することで、制御周期ごとの最適化反復回数を削減すること。
• 予測と補正ステップを組み合わせることで、MPCにおける二次収束性と安定性を確保すること。
• 非線形系や短い制御周期を有する系に対してもMPCの適用範囲を拡大すること。

提案手法

• アルゴリズムは、現在の状態とシステムダイナミクスに基づき、陰関数定理を用いた予測ステップを用いて次回の最適解を推定する。
• 予測ステップでは1つのヘッセ行列を逆行列化し、ニュートン法の二次収束領域内に反復点が保たれることを保証する。
• 高い精度を得るためにニュートン反復を用いた補正ステップを適用し、必要な精度ηに対してO(log log(1/η))回の反復で達成できる。
• ヘッセ行列および勾配の変化のリプシッツ連続性に依存し、ラグランジュ関数の2次微分に関する仮定5および6から導かれる境界を用いる。
• 解の感度の積分表現を用いて予測誤差を有界化し、固有値およびリプシッツ仮定を用いてヘッセ行列の逆行列差を制御する。
• 再びホライズンMPC問題に適用され、状態変動が有界で初期精度が十分である条件下で、理論的安定性および収束保証が与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予測補正フレームワークは、リアルタイムMPCにおけるニュートン反復回数を削減できるか？
• RQ2 予測ステップが、ニュートン法の二次収束領域内に反復点を保つための条件は何か？
• RQ3 高速なダイナミクスと制限された処理能力を有する系において、MPCの計算複雑性をどのように低減できるか？
• RQ4 本手法を用いた時間変動MPCにおいて、安定性および収束性に関する理論的保証はどのようなものか？
• RQ5 本手法は、制約条件や非二次的目的関数を有する非線形系へ拡張可能か？

主な発見

• 予測補正アルゴリズムは、必要な精度ηに対してO(log log(1/η))回のニュートン反復で二次収束を達成し、制御周期ごとの計算コストを著しく低減する。
• 予測ステップにより、制御周期内での状態変動が有界でかつ前回の解が十分に精度が高い場合、反復点がニュートン法の二次収束領域内に保たれることが保証される。
• 理論的解析により、予測誤差がO(∥Δx∥²)で有界であり、Δxは状態変動を表す。また、補正ステップの誤差は各反復で二次的に減少することが示された。
• 本手法は閉ループ安定性を保証し、従来不可能とされてきたより高速なダイナミクスを持つ系に対してもMPCの適用を可能にする。
• 非線形系における数値例から理論的予測が確認され、計算複雑性が低く、摂動下でも頑健な性能を示した。
• アルゴリズムの1反復あたりの計算コストは、1つのヘッセ行列の逆行列化にほぼ等しく、リソースが限られた組み込みシステムに対しても適している。