[論文レビュー] A Predictive Theory of Games

David H. Wolpert|ArXiv.org|Dec 8, 2005

Game Theory and Applications参考文献 71被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、均衡概念をベイズ確率的アプローチに置き換える最初の原則的な枠組み、予測的ゲーム理論（PGT）を導入する。情報理論的事前分布と意思決定理論を用いて、ゲームにおける連携戦略の確率分布を導出し、ナッシュ均衡が予測的であるとは限らないこと、および量的応答均衡（QRE）がこの分布のモードの近似として現れることを示す。さらに、エントロピー最大化により補正項が導出される。

ABSTRACT

Conventional noncooperative game theory hypothesizes that the joint strategy of a set of players in a game must satisfy an "equilibrium concept". All other joint strategies are considered impossible; the only issue is what equilibrium concept is "correct". This hypothesis violates the desiderata underlying probability theory. Indeed, probability theory renders moot the problem of what equilibrium concept is correct - every joint strategy can arise with non-zero probability. Rather than a first-principles derivation of an equilibrium concept, game theory requires a first-principles derivation of a distribution over joint (mixed) strategies. This paper shows how information theory can provide such a distribution over joint strategies. If a scientist external to the game wants to distill such a distribution to a point prediction, that prediction should be set by decision theory, using their (!) loss function. So the predicted joint strategy - the "equilibrium concept" - varies with the external scientist's loss function. It is shown here that in many games, having a probability distribution with support restricted to Nash equilibria - as stipulated by conventional game theory - is impossible. It is also show how to: i) Derive an information-theoretic quantification of a player's degree of rationality; ii) Derive bounded rationality as a cost of computation; iii) Elaborate the close formal relationship between game theory and statistical physics; iv) Use this relationship to extend game theory to allow stochastically varying numbers of players.

研究の動機と目的

• 均衡概念を唯一の妥当な結果とみなす伝統的なゲーム理論の依存を挑戦すること。
• 均衡に基づくモデルが確率論の基礎的公理と整合しないことへの対処。
• 情報理論を用いて、最初の原則から連携戦略の確率分布を導出する方法の開発。
• ナッシュ均衡が合理的極限を通じて到達可能でない場合があり、それらにサポートを制限することはしばしば数学的に不可能であることを示すこと。
• 統計力学の類似性を用いて、特定のモデルに依存しない形でプレイヤー行動の合理化を定量化すること。

提案手法

• ゲーム構造と事前情報が与えられたもとで、ベイズ推論を用いて混合戦略の事後分布を導出する。
• 期待利得に制約を課した最大エントロピー（MaxEnt）原理を適用し、戦略の確率分布を導出する。
• プレイヤー行動をボルツマン分布でモデル化し、統計力学の枠組みで合理化を逆温度βと関連付ける。
• エントロピーを最大化する分布のモードのまわりでの展開により、量的応答均衡（QRE）の補正項を導出する。
• 意思決定理論を用いて損失関数に基づくベイズ最適予測を選択し、均衡概念の必要性を排除する。
• 統計物理学のアンサンブルに類似した人口サイズの揺らぎをモデル化することで、プレイヤー数が確率的である場合のゲーム理論への拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ伝統的な均衡概念への依存が、確率論の基礎的公理と整合しないのか？
• RQ2 ゲーム理論において、最初の原則から連携戦略の確率分布をどのように導出できるか？
• RQ3 量的応答均衡（QRE）と導出された戦略確率分布のモードとの間の正式な関係は何か？
• RQ4 すべてのナッシュ均衡は、より合理的なQRE戦略の系列の極限として到達可能か？もし不可能なら、その理由は何か？
• RQ5 情報理論的測度を用いて、特定のモデルに依存せずにプレイヤー行動の合理化をどのように定量化できるか？

主な発見

• 導出された確率分布において非ゼロ確率を持つ連携戦略の集合は、正の測度を持つことが示され、均衡概念のゼロ測度仮定と矛盾する。
• ナッシュ均衡は、より合理的なQRE戦略の系列による極限として到達可能でない場合があり、多くのゲームでは、分布のサポートをナッシュ均衡に制限することは数学的に不可能である。
• 量的応答均衡（QRE）は、情報理論的分布のモードの近似であることが示され、補正項は高次項展開から導出される。
• すべてのナッシュ均衡は、非ゼロ確率を持つ連携戦略の極限として到達可能であるが、それらが関連する分布のモードとして到達するとは限らない。
• この枠組みは、期待利得制約の下でのエントロピー最大化から自然に導かれる逆温度パラメータβを通じて、モデルに依存しない合理化の定量化を提供する。
• プレイヤー数が確率的である場合への拡張により、進化的ゲーム理論におけるリプロダクター力学に補正が生じ、統計力学の類似性において人口サイズの揺らぎとしてフレームワーク化される。