[論文レビュー] A preliminary univalent formalization of the p-adic numbers

Álvaro Pelayo, Vladimir Voevodsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

advanced mathematical theories参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー型理論を用いてCoq内でのp進数の構成的で一意な形式的定式化を提示している。p進整数はℤ上の形式的べき級数の商として定義され、p進数はこの環の分数体として定義される。この構成では、決定不能な等価性を扱うために非同一性関係とヘイティング体を用い、p進可積分系における将来のアルゴリズム的開発の基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper we give a preliminary formalization of the p-adic numbers, in the context of the second author's univalent foundations program. We also provide the corresponding code verifying the construction in the proof assistant Coq. Because work in the univalent setting is ongoing, the structure and organization of the construction of the p-adic numbers we give in this paper is expected to change as Coq libraries are more suitably rearranged, and optimized, by the authors and other researchers in the future. So our construction here should be deemed as a first approximation which is subject to improvements.

研究の動機と目的

• ホモトピー型理論を用いてCoq内にp進数の構成的で一意な形式的定式化を構築すること。
• p進可積分系におけるアルゴリズム的構築と数値解析の基盤を提供すること。
• p進整数をℤ[[X]]の商として、p進数をそれらの分数体として形式的定式化すること。
• 形式的べき級数環ℤ[[X]]における決定不能な等価性を非同一性関係を用いて扱い、構成的に定義された整域およびヘイティング体を構築すること。
• 将来のp進可積分系および量子系における逆スペクトル問題の形式的定式化の土台を築くこと。

提案手法

• 整数環ℤ上の形式的べき級数環ℤ[[X]]の商としてp進整数ℤₚを構成する。
• 一意的基礎とCoqの型理論を用いて、ホモトピー論的整合性を持つ代数的構造を形式的定式化する。
• 決定不能な等価性のある構成的設定において等価性の代わりに非同一性関係を定義する。
• ヘイティング体を構成的論理と整合する場の構成的アナロジーとして形式的定式化する。
• ℤₚの分数体を、分数体構成の構成的版を用いてp進数ℚₚとして構成する。
• すべての構成をCoqで実装し、一意的基礎ライブラリを用いて、論文と併せて検証済みコードを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進数は、構成的で一意的かつホモトピー型理論的枠組み内でどのように形式的定式化可能か？
• RQ2 形式的べき級数環における決定不能な等価性を構成的に扱うために必要な代数的構造は何か？
• RQ3 分数体構成はヘイティング体に適応可能か？ これにより古典的選択公理を用いずにℚₚを定義できるか？
• RQ4 この形式的定式化は、p進可積分系のためのアルゴリズム開発をどのように支援できるか？
• RQ5 非同一性関係は、ℤₚおよびℚₚにおける代数的演算の構成的妥当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• p進整数ℤₚはℤ[[X]]の商として成功裏に形式的定式化され、整域性と非同一性構造に関する構成的証明が得られた。
• 分数体構成はヘイティング体に適応され、古典的論理を用いずにℚₚがヘイティング体として定義可能となった。
• 形式的定式化は、一意的基礎ライブラリを用いてCoqで実装され、検証済みコードが補足資料として提供された。
• 構成的代数学の文脈において非同一性と決定可能な性質に依存することで、古典的仮定を回避した。
• このアプローチは、将来的なライブラリの洗練とともに進化する予定の一意的定式化の初期の近似である。
• 形式的定式化は、p進量子可積分系における逆スペクトル問題のアルゴリズム抽出という長期的目標を支援する。